¿La secuencia $\frac{3^n}{n!}$ ¿convergen o divergen?

Question

Considere la secuencia $\frac{3^n}{n!}$ donde $n$ varía de $1$ a $\infty$ . ¿La serie correspondiente converge o diverge?

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!}. $$

He reducido esto a $(e^3 - 1)$ . Pero, ¿cómo debo decidir si esto converge/diverge?

Answer 1

¡Buenas noticias!

Ya has resuelto el problema.

Como usted señala correctamente, esto es $e^3 - 1$ .

Eso es porque la serie para $e^x$ ¡converge en todas partes! Así que ya está hecho, es converge (específicamente a $e^3 - 1$ ).

Answer 2

Desde $\sum_{n=0}^{m}\frac{3^n}{n!}$ converge a $e^3$ como $m \rightarrow \infty$ ,

$\sum_{n=0}^{m}\frac{3^n}{n!}-1$ converge a $e^3-1$ como $m \rightarrow \infty$

Es decir $\sum_{n=1}^{m}\frac{3^n}{n!}$ converge a $e^3-1$ como $m \rightarrow \infty$

Answer 3

Al decir que se ha "reducido" a $e^3 -1$ - que, no obstante, es correcto y, por tanto, la serie converge a ese valor concreto -lo más probable es que haya utilizado ese $e^x = \sum_n x^n/n!$ que afortunadamente converge en todas partes, por lo que se puede evaluar para $x = 3$ A diferencia de la serie $\sum_n x^n$ que no puede ser evaluado para, por ejemplo $x = 3$ . Pero con sólo afirmar que la expansión de la serie para $e^x$ converge para cada $x$ Ya has resuelto el problema.

Ya que preguntas por la convergencia, para encontrar el radio de convergencia, utiliza la prueba de la proporción como se sugiere;

$$\lim_{n\to \infty} \left \lvert \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right \rvert = \lim_{n\to \infty} \frac{x}{n+1} = 0 < 1, \quad \forall x\in \Bbb{R}, $$ por lo que, en particular, la serie para $e^x$ converge para $x = 3$ .

Answer 4

Si para todo n, n no es igual a 0, entonces se aplican las siguientes reglas: Sea L = lim (n -- > inf) | an+1 / an |. Si L < 1, entonces la suma de la serie (1..inf) an converge. Si L > 1, entonces la suma de la serie (1..inf) an diverge. Si L = 1, entonces la prueba no es concluyente. Aquí el límite lim (n -- > inf) | an+1 / an |. es cero, por lo que la serie es convergente. Esta es la prueba de la relación.