Intentar derivar la versión bidimensional del teorema de Parseval (para funciones de valor real)

Question

Estoy tratando de expresar la integral

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_1, x_2) \; g(x_1, x_2) \; \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2$$

de dos funciones de valor real $f(x_1,x_2)$ y $g(x_1,x_2)$ en términos de sus transformadas de Fourier $\tilde{f}(\omega_1, \omega_2)$ y $\tilde{g}(\omega_1, \omega_2)$ . Sin embargo, como $f(x_1,x_2)$ y $g(x_1,x_2)$ son funciones de valor real y $I$ no se define como el producto de $f(x_1,x_2)$ y $g(x_1,x_2)^\ast$ No estoy trabajando con el complejo conjugado).

$$f(x_1,x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{f}(\omega_1, \omega_2) \; e^{2 \pi i ( \;\omega_1 x_1 \;+ \;\omega_2 x_2 \;) } \; \mathrm{d}\omega_1 \mathrm{d}\omega_2$$

y

$$g(x_1,x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{g}(\omega_1, \omega_2) \; e^{2 \pi i ( \;\omega_1 x_1 \;+ \;\omega_2 x_2 \;) } \; \mathrm{d}\omega_1 \mathrm{d}\omega_2$$

La integral se convierte en

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \; \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{f}(\omega_1, \omega_2) \; e^{2 \pi i ( \;\omega_1 x_1 \;+ \;\omega_2 x_2 \;) } \; \mathrm{d}\omega_1 \mathrm{d}\omega_2 \right] \; \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{g}(\omega_1, \omega_2) \; e^{2 \pi i ( \;\omega_1 x_1 \;+ \;\omega_2 x_2 \;) } \; \mathrm{d}\omega_1 \mathrm{d}\omega_2 \right] \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2$$

Aquí es donde empieza a ser confuso. No estoy seguro de si debo escribir:

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\omega_1 \; \tilde{f}(\omega_1, \omega_2) \; \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\omega_2 \tilde{g}(\omega_1, \omega_2) \; \; \int_{-\infty}^{+\infty} \; e^{2 \pi i x_1 ( \; \omega_1 \;+ \;\omega_2 \;) } \; \mathrm{d}x_1 \; \int_{-\infty}^{+\infty} \; e^{2 \pi i x_2 ( \; \omega_1 \;+ \;\omega_2 \;) } \; \mathrm{d}x_2$$

y extraer dos deltas de dirac unidimensionales, o escribir:

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\omega_1 \; \tilde{f}(\omega_1, \omega_2) \; \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega_2 \tilde{g}(\omega_1, \omega_2) \; \;\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2 \pi i x_1 ( \; \omega_1 \;+ \;\omega_2 \;) + x_2 ( \; \omega_1 \;+ \;\omega_2 \;) } \; \mathrm{d}x_1 \; \mathrm{d}x_2$$

con la esperanza de extraer el delta de dirac bidimensional. (Ni siquiera estoy seguro de lo que es la transformada inversa de Fourier del delta de dirac bidimensional).

Agradecería que me aconsejaran sobre cómo proceder. (Gracias).

Answer 1

No veo lo que estás haciendo. ¿Estás tratando de mostrar que:

$$\int_{\mathbb R^2} f(x) g(x) \, dx = \int_{\mathbb R^2} \widehat{f(\xi)} \overline{\widehat{g(\xi)}} \, d\xi$$ ? Esto se suele llamar la identidad de Parseval.

Se puede demostrar de la siguiente manera (incluso en $\mathbb R^n$ ), primero demostrar por Fubini (muy simple) que:

$$\int_{\mathbb R^2} f(x) \widehat{g(x)} \, dx = \int_{\mathbb R^2} \widehat{g(x)} f(x) \, dx$$

Entonces dejemos que $g = \overline{\hat{h}}$ y observe entonces que $\hat{g} = \overline{h}$ (por inversión de Fourier), entonces obtenemos

$$\int_{\mathbb R^2} f(x) h(x) \, dx = \int_{\mathbb R^2} \widehat{g(x)} \overline{\widehat{h(x)}} \, dx$$ (suponiendo que $h$ es real, de lo contrario obtenemos el conjugado).