calcular $P(Y\leq X)$ para $f(x,y)=2$ en el triángulo uniforme (0,0),(1,0),(0,1)

Question

Dado es que $f(x,y)=2$ donde $0\leq x\leq 1$ y $0\leq y \leq 1$ y $x+y\leq 1$

Solución:

$$ P(Y\leq X)= \int_0^{\frac12} dx\int_0^x dy2 + \int_{\frac12}^1dx \int_0^{1-x}dy2=\frac12$$

¿Cómo se determinan los límites? ¿Cuál es la idea de sumar las dos integrales?

También hay una solución alternativa: $ P(Y\leq X)= P((X,Y) \in A)$ donde $ A:y\leq x$

$$ = \int\int_A f_{x,y}(x,y)dxdy=opp(A) \times 2 =\frac12$$

No he visto esta anotación antes.

¿Cómo se puede interpretar esto?

Answer 1

En ambas soluciones, es necesario integrar la función $f(x,y)=2$ sobre una región particular del plano, a saber, la región de puntos $(x,y)$ satisfaciendo $y \le x$ .

Dado que la densidad conjunta $f$ es cero en todas partes fuera de las restricciones dadas en $x$ y $y$ la integral es lo mismo que integrar la función constante $2$ sobre la región especificada por las restricciones $0 \le x \le 1$ y $0 \le y \le 1$ y $x + y \le 1$ así como $y \le x$ . Si te tomas un tiempo para hacer un dibujo, verás que esta región es un triángulo con vértices en $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(1/2, 1/2)$ .

La primera integral divide esta región en dos mitades y la integra sobre cada región por separado.

La segunda integral utiliza una interpretación geométrica para calcular la integral. Como el integrando es la función constante $2$ la integral es el volumen del prisma triangular de base $A$ (el triángulo descrito anteriormente) y la altura $2$ que es $\text{area}(A) \times 2$ .