La gravedad en un planeta con forma de rosquilla/Möbius

Question

¿Cómo de diferentes serían los efectos de la gravedad si el planeta en el que estamos tuviera forma de toro (en forma de donut)?

Para un planeta (aproximadamente) esférico, está ligeramente claro que los objetos tenderían a ser atraídos gravitatoriamente hacia el centro. Sin embargo, un toroide tendría un agujero en su centro, y no estoy seguro de si la atracción hacia el centro sigue siendo válida.

En concreto, ¿podría una persona de ese planeta caminar por las inmediaciones del agujero sin caerse?

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Adicional:

Una pregunta similar, pero ahora considere un planeta en forma de banda de Möbius. No sólo hay que lidiar con el agujero, sino también con el "pliegue". ¿Puede una persona ponerse de pie en la curva?

Answer 1

Campo gravitatorio de un anillo de masa

...la fuerza sobre una masa unitaria en $P$ de las dos masas $M$ es $$F=-\frac{2GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

Ahora bien, mientras nos fijemos sólo en el $x$ -Esta misma fórmula es válida para un anillo de masa $2M$ en el $y$ , $z$ ¡Avión! No es más que una versión tridimensional del argumento anterior, y puede visualizarse girando el diagrama de dos masas anterior alrededor de la $x$ -eje, para dar un anillo perpendicular al papel, o imaginando el anillo como si estuviera formado por muchas cuentas, y tomando las cuentas por pares opuestos. Conclusión el campo de un anillo de masa total $M$ , radio $a$ , en un punto $P$ en el eje de la distancia del anillo $x$ desde el centro del anillo es $$F=-\frac{GMx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$$

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La gravedad de un toroide

A veces se piensa que, tal vez por razones de simetría, un objeto en el interior de un anillo de materia sería atraído hacia el centro, pero no es así, al menos no para los objetos en el plano del anillo. Para ver por qué, consideremos un anillo de masa muy fino tratado como un círculo de radio $R$ en el plano, y una partícula dentro de este anillo a una distancia $r$ desde el centro. Construye una línea arbitraria que pase por esta partícula, golpeando el anillo en dos direcciones opuestas a distancias $L_1$ y $L_2$ . Si giramos esta línea alrededor de la partícula a través de un ángulo incremental $\mathrm{d}q$ barrerá secciones del anillo proporcionales a $L_1\cos(a)\mathrm{d}q$ y $L_2\cos(a)\mathrm{d}q$ , donde $a$ es el ángulo que forma la cuerda con las normales del círculo en los puntos de intersección. La fuerza gravitatoria neta ejercida por estas dos secciones opuestas del anillo es proporcional a las masas de estas pequeñas secciones divididas por los cuadrados de las distancias, es decir, la fuerza es proporcional a $\mathrm{d}q \cos(a) (\frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2}$ ) en la dirección del $L_1$ punto de intersección. Por lo tanto, la fuerza neta está en la dirección del punto más cercano del anillo, directamente lejos del centro.

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Campo gravitatorio debido a cuerpos rígidos

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Lectura adicional divertida: Ringworld :)

Answer 2

Estoy haciendo esto fuera de mi cabeza, así que espero que sea correcto, pero por favor, vuelva a comprobarlo.

1. Cuando uno se aleja lo suficiente del objeto, las leyes se reducen a la clásica solución de masa puntual, F = GMmr^-2.

2. Además, cuando se encuentre en el plano del agujero del toro, las contribuciones de las direcciones "arriba" y "abajo" se anularán. El toro puede considerarse como un disco con un agujero. En este caso, la gravedad dependerá únicamente de la cantidad de masa del disco definida por el radio desde el observador hasta el centro del toro. Disminuirá linealmente (creo) desde el valor en el borde exterior (que debería ser el similar al definido en el punto 1. y el valor cero en el borde interior).

3. Dentro del toroide en el plano del agujero, la gravedad debería ser cero.

4. En otros puntos sí que hay que integrarse.

Answer 3

En el toroide:
Caminando hacia el lado interior del toro uno se vuelve más ligero, porque tiene la atracción gravitatoria bajo sus pies (que es más fuerte porque está más cerca) y la atracción gravitatoria por encima de su cabeza que le hace más ligero. El lado exterior del toro es el lado donde la gente es más pesada.

En la banda de Möbius:
La atracción gravitatoria varía como en el caso del toroide, uno se vuelve más ligero y luego vuelve a ser más pesado al dar la vuelta al mundo. Caminando de un lado al "otro" [paréntesis porque es el mismo lado] a través del grosor de la franja -suponiendo que sea accesible, si no hay que volar al "otro" lado- la situación se invierte.

Como Sklivvz notas:
En el centro del toroide o franja de Möbius se anula toda la gravedad.
A una gran distancia se puede despreciar la forma del objeto, se puede tratar como una masa puntual.