Supongamos que $g : (0, 1) \to (0, +\infty)$ es una función cóncava dos veces continuamente diferenciable. Queremos que la relación $$ f(x) := -\frac{g''(x)}{g(x)} $$ crecer como $x \to 0$ lo más rápido posible. Algunos ejemplos: $$ g(x) = x^p,\ p \in (0, 1),\ \mbox{and}\ f(x) = \frac{p(1 - p)}{x^2}. $$ Esto es máximo cuando $p = 1/2$ entonces $f(x) = 1/(4x^2)$ . También, $$ g(x) = -x\log x\ \mbox{and}\ f(x) = -\frac1{x^2\log x}, $$ que no crece tan rápido como $1/(4x^2)$ como $x \to 0$ .
Respuesta
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Claro. Sólo haz las cosas más naturales.
Suponga que puede tener $g''<-(\frac 14+\delta)x^{-2}g(x)$ en un intervalo corto a partir de $0$ con algunos $\delta>0$ . Nótese que la desigualdad es invariante bajo escalas $g(x)\mapsto ag(bx)$ para que puedas estirar el intervalo tanto como quieras y normalizarlo a $g(1)=1$ . Ahora utiliza la compacidad de las funciones cóncavas normalizadas de tal manera (aprovechándolas con una convolución multiplicativa fija para evitar cualquier problema con la diferenciabilidad del límite si no te apetece trabajar con derivadas generalizadas en este momento) y obtén una solución de la misma desigualdad diferencial en todo el semieje positivo.
Como ya sospecha que $\sqrt x$ es lo peor que puedes tener, escribe $g(x)=u(x)\sqrt x$ , diferenciar honestamente, y llegar a la desigualdad $$ u''+x^{-1}u'+\delta x^{-2}u\le 0\\,. $$ Ahora se reescribe como $$ (xu')'+\delta x^{-1}u\le 0 $$ Desde $u>0$ Esto significa, como mínimo, que $xu'$ está disminuyendo. Si $u'$ es negativo en cualquier parte, entonces se obtiene $u'(x)\le -\frac cx$ en el infinito. Pero entonces la integral de $u'$ se desvía hacia $-\infty$ Así que $u$ se pone en negativo en alguna parte, lo cual es imposible. Así, $u'\ge 0$ hasta el final. Pero entonces $u\ge c$ Así que $(xu')'\le -\frac {\delta c}x$ por lo que (utilizando de nuevo la divergencia de la integral armónica) $xu'$ tiende a $-\infty$ haciendo $u'$ finalmente negativo. Así, "Kuda ne kin', vezde klin" (supongo que entiende el ruso).
Por supuesto, puede conseguir $\frac{g''}g<-\frac{1}{4x^2}$ considerando $g(x)=\sqrt x-x^2$ en $(0,1)$ o algo así. Así que, estrictamente hablando, $\frac{1}{4x^2}$ es imbatible sólo asintóticamente, pero supongo que esto es lo que querías decir desde el principio al hacer la pregunta.
Debo confesar que has despertado mi curiosidad al afirmar que necesitas una solución urgente y revivir un antiguo post mío para atraer mi atención. Normalmente debería entender que la gente visita MO en su tiempo libre y no tiene ninguna obligación en cuanto a la rapidez con la que se responde o si se responde en absoluto. Así que, naturalmente, me pregunto por qué no podría esperar unas horas o días :).
