Maximizar $(\cos x\ln (x^{\frac1x})-\frac{\cos x\log_{10}x}{\ln(\ln x)})^{\cos x}$

Question

Maximizar $$\large \left(\cos x\ln (x^{\frac1x})-\frac{\cos x\log_{10}x}{\ln(\ln x)}\right)^{\cos x}$$

Me pregunto por qué Mathematica dice infinito como respuesta, pero en el gráfico de desmos está claro que es menos de 2

$\color{blue}{\text{Even WolframAlpha gave correct answer}}\color{red}{\text{ local maximum value as 1.461}}$

Mi intento:

He utilizado el comando Maximizar con y sin restricciones. Probé ambos usando constaint como $\ln x >1$ Pero no ha surgido nada correcto.

A continuación también probé con FindMaximum que tampoco mostró nada, pero el comando WolframAlpha dio el máximo local correctamente.

Me pregunto si hay alguna forma analítica de encontrar $\color{green}{\text{Local Maximum Value ?}}$

Answer 1

Tengo varios comentarios que compartir. Aquí es mi gráfico.

1.Hay puntos finales en $$\left(\frac \pi2+\pi(n\in\Bbb N),1\right)$$

Esta parte del gráfico se parece sospechosamente a un gráfico del (co)seno transformado.

También existe (1 o e,0) como solución.

2.Los otros puntos críticos que pueden mostrar donde existen otros extremos o discontinuidades donde la derivada de su función es 0. Voy a ser eficiente y tener ayuda de software como lo hizo: $=0$

Consulte el gráfico para ver los puntos críticos. Puedes comprobar que son extremos comparando las gráficas de la derivada 0 y la derivada 1. Por favor, ¡déme su opinión y corríjame!

Tomando el logaritmo natural, derivando y utilizando la propiedad del producto se obtiene una fracción complicada, una función tangente y un logaritmo de la función original elevado justo a la potencia de 1 para mostrar que puede no haber ninguna respuesta resoluble...