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Propiedades de las cubiertas abiertas

Estoy leyendo ce artículo en el que se describen dos propiedades de las cubiertas abiertas:

γ -propiedad: Si U es un abierto ω -cubierta de X , entonces hay secuencia {Gn:GnU}U tal que Lim_Gn=X (página 153)

γ -propiedad: Si Un es una secuencia abierta ω -cubiertas de X , entonces hay secuencia {Gn:GnUn} tal que Lim_Gn=X (página 155)

Lim_An={xX:n0ω nn0 xAn}

En la página 156, se demuestra que, γ -la propiedad implica γ propiedad. La idea general de la prueba es clara para mí, excepto por una observación. Se menciona al final de la página 155 que, "Como podemos suponer que Un+1 es un refinamiento de Un por cada nω basta con demostrar que existe una subsecuencia infinita nk:kω y una secuencia GkUnk con Lim_Gk=X ".

No veo por qué podemos asumir que Un+1 es un refinamiento de Un por cada nω .

¿Alguna ayuda?

Gracias.

3voto

Adam F Puntos 21

Dos cosas:

  • Supongamos que {Un}nω y {Vn}nω son secuencias de abiertos ω -cubiertas y cada Vn es un refinamiento de Un . Si hay una secuencia {Gn}nω tal que GnVn y Lim_nGn=X entonces podemos encontrar una secuencia {Hn}nω tal que HnUn y Lim_nHn=X . (Sólo tienes que elegir HnUn incluyendo Gn como subconjunto).

    Esto dice que basta con resolver el problema de una secuencia "refinando" una dada.

  • Si U y V son dos abiertos ω -cubre, entonces {GH:GU,HV,GH} también es un abierto ω -y es un refinamiento de ambos U y V .

    Esto implica que podemos "perfeccionar" una secuencia de ω -cubiertas para que cada cubierta sucesiva de la nueva secuencia perfeccione las que la preceden.

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