Propiedades de las cubiertas abiertas

Question

Estoy leyendo ce artículo en el que se describen dos propiedades de las cubiertas abiertas:

$\gamma$ -propiedad: Si $\mathcal U$ es un abierto $\omega$ -cubierta de $X$ , entonces hay secuencia $\{ G_n : G_n \in \mathcal U\} \subset \mathcal U$ tal que $\underline{Lim} G_n = X$ (página 153)

$\gamma'$ -propiedad: Si $\mathcal U_n$ es una secuencia abierta $\omega$ -cubiertas de $X$ , entonces hay secuencia $\{ G_n : G_n \in \mathcal U_n \}$ tal que $\underline{Lim} G_n = X$ (página 155)

$\underline{Lim}A_n=\{ x \in X : \exists n_0 \in \omega \space \forall n \geq n_0 \space x \in A_n \}$

En la página 156, se demuestra que, $\gamma$ -la propiedad implica $\gamma'$ propiedad. La idea general de la prueba es clara para mí, excepto por una observación. Se menciona al final de la página 155 que, "Como podemos suponer que $\mathcal U_{n+1}$ es un refinamiento de $\mathcal U_n$ por cada $n \in \omega$ basta con demostrar que existe una subsecuencia infinita $\langle n_k : k \in \omega \rangle$ y una secuencia $G_k \in \mathcal U_{n_k}$ con $\underline{Lim}G_k = X$ ".

No veo por qué podemos asumir que $\mathcal U_{n+1}$ es un refinamiento de $\mathcal U_n$ por cada $n \in \omega$ .

¿Alguna ayuda?

Gracias.

Answer 1

Dos cosas:

• Supongamos que $\{ \mathcal{U}_n \}_{n \in \omega}$ y $\{ \mathcal{V}_n \}_{n \in \omega}$ son secuencias de abiertos $\omega$ -cubiertas y cada $\mathcal{V}_n$ es un refinamiento de $\mathcal{U}_n$ . Si hay una secuencia $\{ G_n \}_{n \in \omega}$ tal que $G_n \in \mathcal{V}_n$ y $\underline{\mathrm{Lim}}_n G_n = X$ entonces podemos encontrar una secuencia $\{ H_n \}_{n \in \omega}$ tal que $H_n \in \mathcal{U}_n$ y $\underline{\mathrm{Lim}}_n H_n = X$ . (Sólo tienes que elegir $H_n \in \mathcal{U}_n$ incluyendo $G_n$ como subconjunto).

  Esto dice que basta con resolver el problema de una secuencia "refinando" una dada.

• Si $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ son dos abiertos $\omega$ -cubre, entonces $\{ G \cap H : G \in \mathcal{U} , H \in \mathcal{V}, G \cap H \neq \varnothing \}$ también es un abierto $\omega$ -y es un refinamiento de ambos $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ .

  Esto implica que podemos "perfeccionar" una secuencia de $\omega$ -cubiertas para que cada cubierta sucesiva de la nueva secuencia perfeccione las que la preceden.