Estoy leyendo ce artículo en el que se describen dos propiedades de las cubiertas abiertas:
γ -propiedad: Si U es un abierto ω -cubierta de X , entonces hay secuencia {Gn:Gn∈U}⊂U tal que Lim_Gn=X (página 153)
γ′ -propiedad: Si Un es una secuencia abierta ω -cubiertas de X , entonces hay secuencia {Gn:Gn∈Un} tal que Lim_Gn=X (página 155)
Lim_An={x∈X:∃n0∈ω ∀n≥n0 x∈An}
En la página 156, se demuestra que, γ -la propiedad implica γ′ propiedad. La idea general de la prueba es clara para mí, excepto por una observación. Se menciona al final de la página 155 que, "Como podemos suponer que Un+1 es un refinamiento de Un por cada n∈ω basta con demostrar que existe una subsecuencia infinita ⟨nk:k∈ω⟩ y una secuencia Gk∈Unk con Lim_Gk=X ".
No veo por qué podemos asumir que Un+1 es un refinamiento de Un por cada n∈ω .
¿Alguna ayuda?
Gracias.