secuencias reales (tal vez cauchy)

Question

¿Cómo se puede hacer esto? Deje que $a_1=1$

Answer 1

insinuación:

$$\left|1+\frac {(-1)^n}{2^n}\right|\leq \left(1+\frac {1}{2^n} \right)$$

Answer 2

Tomando logaritmos, la desigualdad del medio es equivalente a $$\sum_{k=1}^n\ln\left(1+2^{-k}\right)\leq n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ Desde $\ln(1+x)$ es cóncavo, por La desigualdad de Jensen tenemos

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^n\ln\left(1+2^{-k}\right)&\leq n\ln\left(1+\frac{\sum_{k=1}^n2^{-k}}{n}\right)\\ &=n\ln\left(1+\frac{1-2^{-n}}{n}\right)\\ &\leq n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{align*}$$ donde la última desigualdad se mantiene porque $\ln(1+x)$ también es una función creciente.

La tercera desigualdad es conocida y la última desigualdad se cumple porque $$\begin{align*} |a_{n+1}-a_n|&=\left|\left(1+\frac{(-1)^n}{2^n}\right)a_n-a_n\right|\\ &=\left|\frac{(-1)^na_n}{2^n}\right|\\ &< \left|\frac{3}{2^n}\right| \end{align*}$$ desde $|a_n|<3$