Demostración de las propiedades de hermiticidad de las matrices de Dirac mediante hamiltonianos

Question

Quiero mostrar $${\gamma^0}^\dagger=\gamma^0\\ {\gamma^i}^\dagger=-\gamma^i.$$

Para ello considero la ecuación de Dirac $$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0$$

y lo escribo como

$$i\partial_t \psi=(-i\gamma^0\gamma^i\partial_i+m\gamma^0)\psi:=H\psi$$

donde he definido el hamiltoniano $H$ . Requerimos $H=H^\dagger$ es decir $$-i\gamma^0\gamma^i\partial_i +m\gamma^0=i(\gamma^0\gamma^i)^\dagger\partial_i+m{\gamma^0}^\dagger.$$

El segundo término deja claro que ${\gamma^0}^\dagger=\gamma^0$ el primer término se convierte en

$$-i\gamma^0\gamma^i=i{\gamma^i}^\dagger{\gamma^0}$$

ou

$$\gamma^i\gamma^0={\gamma^i}^\dagger\gamma^0$$

lo que significa ${\gamma^i}^\dagger=\gamma^i$

¿Por qué no funciona? En esto estoy ignorando el operador $\partial_i$ al tomar el adjunto porque el adjunto se toma en el espacio del espinor, no en $L^2$ . ¿Es esto incorrecto? ¿Debo tomar $\partial_i^\dagger=-\partial_i$ ? ¿Por qué?

Answer 1

Sí. Deberías usar $\partial_i^\dagger= -\partial_i$ porque es el adjunto correcto de la derivada en $L^2[\mathbb R]$ .

Recordemos que el adjunto $A^\dagger$ con respecto a un producto interno $<\phantom x,\phantom y>$ de un operador $A$ se define de manera que $$<A^\dagger \phi, \chi>= <\phi, A\chi>.$$ Cuando $<\phi,\chi>= \int_{-\infty}^\infty \phi^*\chi\,dx$ una integración por partes da $$<\phi, \partial_x \chi>= <- \partial_x \phi, \chi>$$ así que $\partial_x^\dagger=-\partial_x$ .

Answer 2

Se pueden elegir las matrices gamma de manera que no satisfagan la condición de hermiticidad.