Demostrar todas las alternancias $d$ -función lineal $f:V^d\rightarrow W$ es antisimétrico.

Question

Demostrar todas las alternancias $d$ -función lineal $f:V^d\rightarrow W$ es antisimétrico.

Definición: Dejemos que $V_1,\ldots,V_d, W$ espacios vectoriales, tales que $f:V_1\times\cdots\times V_d\rightarrow W$ es multilineal. Entonces $f$ es $d$ -lineal cuando $V_1=\cdots=V_d$ .

No tengo idea de cómo resolver este ejercicio. ¿Puede alguien darme una pista o cómo resolver este ejercicio? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $i, j \in \{1, \ldots, d\}$ , $i \ne j$ . Deseamos probar:

$$f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots, x_n) = -f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots, x_n)$$

para la arbitrariedad $(x_1, \ldots, x_n) \in V^n$ .

Lo tenemos:

$$\begin{align} 0 &= f(x_1, \ldots, x_i + x_j, \ldots, x_i + x_j, \ldots, x_n)\\ &= \underbrace{f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}_{=0} \\ &\quad+ f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots, x_n) \\ &\quad+ f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ &\quad+ \underbrace{f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_j, \ldots, x_n)}_{=0}\\ &= f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots, x_n) + f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ \end{align}$$

El reordenamiento da:

$$f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots, x_n) = -f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots, x_n)$$

Answer 2

Caso especial: $d=2$ .

Dejemos que $f:V\times V \to W$ ser alternativo. Tenga en cuenta que cada $(x,y) \in V$ puede escribirse como

Entonces, por suposición, tenemos que $f(x,y)+f(y,x)=f(x,y)+f(x,x)+f(y,y)+f(y,x)=f(x+y,x+y)=0$ donde la última igualdad es por suposición.

Por lo tanto, tenemos que $f(x,y)+f(y,x)=0$ o $f(x,y)=-f(y,x)$

¿Puede generalizar?