¿Cómo probar esta secuencia recursiva converge a $\sqrt 2$?

Question

Deje $a_0,a_1>0$ ser dado. Considere la secuencia recursiva $$a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}$$ Demostrar que $a_n\to\sqrt2$.

He intentado encontrar un obligado para$a_n$, pero hasta ahora sólo he conseguido $a_n>0$. Alguien insinúa que yo podría querer usar limsup/liminf, pero quiero por lo menos poner un límite en ellos primero.

Aparte de limsup/liminf (que no sé cómo hacer uso de aquí todavía), ¿hay algún otro método? Que, si es posible, será preferible para mí, ya que no estoy muy acostumbrado a limsup/liminf.

O, podemos demostrar que este segundo orden de recursión es estable en alguna manera?

Gracias de antemano!

Answer 1

Para aquellos que estén interesados, se puede resolver este usando $\liminf$, $\limsup$ (Así que esto no es bastante para satisfacer el OP requisito). La idea es descrito en otra respuesta vinculado en el comentario.

Primero de todo lo que uno puede mostrar que $a_n$ es limitada. Vamos $$\ell = \liminf_{n\to \infty} a_n, \ \ L = \limsup_{n\to \infty} a_n.$$

Por la definición de $\ell$, se puede encontrar una larga $\{a_{n_k}\}$, de modo que $a_{n_k} \to \ell$. Mediante la selección de una larga, vamos a suponer también que

$$a_{n_k - 1} \to \ell_1,\ \ a_{n_k -2} \to \ell_2\ \ \ \text{as }k\to \infty.$$

Luego de tomar $k\to \infty$ de

$$a_{n_k} = \frac{1}{a_{n_k-1}} + \frac{1}{a_{n_k-2}},$$

tenemos

$$\ell = \frac{1}{\ell_1 } + \frac{1}{\ell_2} \ge \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L} \Rightarrow \ell L \ge 2$$

De manera similar mediante la toma de una larga va a $L$,$\ell L \le 2$. Por lo tanto $\ell L = 2$.

Ahora nos muestran que la $\ell =L =\sqrt 2$. Entonces esto implica $a_n \to \sqrt 2$$n\to \infty$.

Igualmente, os $a_{n_k}$ converge a $L$ y $a_{n_k-1} \to \ell_1$, $a_{n_k -2} \to \ell_2$ y $a_{n_k - 3} \to \ell_3$. Entonces tenemos

$$\frac {2}{\ell} = L = \frac{1}{\ell_1} + \frac{1}{\ell_2}$$

y

$$\ell_1 = \frac{1}{\ell_2} + \frac{1}{\ell_3}.$$

La primera igualdad de hecho de las fuerzas de $\ell_1 = \ell_2 = \ell$. Poner esto en la segunda igualdad se da

$$\frac{2}{L} = \ell = \frac{1}{\ell } + \frac{1}{\ell_3}.$$

Esto, de nuevo, las fuerzas de $\ell = \ell_3 = L$. Por lo tanto $\ell = L = \sqrt 2$.

Answer 2

Sugerencia:

De datos experimentales, uno ve que la diferencia con $\sqrt2$ disminuye exponencialmente con un cociente común $0.70\cdots$, para que uno se siente tentado a tratar de $a_n=\sqrt2+ar^n$.

Entonces para gran $n$,

$$\sqrt2+ar^{n+2}=\frac1{\sqrt2+ar^{n+1}}+\frac1{\sqrt2+ar^n}\approx \frac1{\sqrt2}-\frac {ar^{n+1}}2+\frac1{\sqrt2}-\frac {ar^{n}}2.$$

Se trata de una recurrencia lineal y la ecuación característica produce

$$r=\frac{-1\pm i\sqrt7}{4}=\frac1{\sqrt2}e^{\pm i\arctan(\sqrt7)}.$$

Debería ser posible demostrar que el error absoluto es limitado por $$\frac a{\sqrt2^n}$$ for some $a$ and $N\le $ n (función de las condiciones iniciales).