$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\int_{Y<n} Y \, dP=0$ ?

Question

$Y$ es una variable aleatoria no negativa, no necesariamente integrable. Cómo demostrar $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\int_{Y<n}Y \, dP=0$$

Mi idea es encontrar un buen límite superior que converja a cero. Sin embargo, no he encontrado uno bueno. Mi límite superior es $$\frac{1}{n}\int_{Y<n}Y \, dP\leq \frac{1}{n}\int_{Y<n}n \, dP\leq \int_{Y<n}dP\leqslant 1.$$

Answer 1

Obsérvese que la secuencia de variables aleatorias $X_n = \frac{1}{n} I\{Y < n\} Y$ está limitada por $1$ y converge puntualmente a $0$ . La afirmación se desprende ahora del teorema de convergencia dominada.

Answer 2

He aquí una demostración directa (que no requiere ningún teorema adicional, como el teorema de convergencia dominada):

Arreglar $\epsilon>0$ . Desde $A_n := \{n \leq Y < \infty\}$ es una secuencia de conjuntos decrecientes que satisfacen $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \emptyset$ la continuidad de la medida (de probabilidad) $\mathbb{P}$ da

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(n \leq Y < \infty) = 0;$$

en particular podemos elegir $N \in \mathbb{N}$ tal que $\mathbb{P}(N \leq Y < \infty) \leq \epsilon$ . Ahora

$$\begin{align*} \frac{1}{n} \int_{Y<n} Y \, d\mathbb{P} &= \frac{1}{n} \int_{Y<N} Y \, d\mathbb{P} + \int_{N \leq Y < n} \frac{Y}{n} \, d\mathbb{P} \\ &\leq \frac{N}{n} \underbrace{\mathbb{P}(Y < N)}_{\leq 1} + \mathbb{P}(N \leq Y < n) \\ &\leq \frac{N}{n} + \mathbb{P}(N \leq Y < \infty) \leq \frac{N}{n} + \epsilon. \end{align*}$$

Elección de $n$ suficientemente grande, obtenemos

$$\frac{1}{n} \int_{Y<n} Y \, d\mathbb{P} \leq 2 \epsilon.$$