¿Es posible resolverlo mediante el álgebra?

Question

$$150 \equiv 17 \mod x, \qquad 100 \equiv 5 \mod x $$

¿Resolver la ecuación simultánea? ¿Es una ecuación simultánea? ¿Cómo puedo encontrar el valor de $x$ ¿también? Estaba haciendo una pregunta y se me ocurrieron estas ecuaciones... Conozco los fundamentos de la aritmética modular, pero no conozco las más difíciles

Answer 1

Desde $150-17=133$ tenemos $$ 150\equiv17\pmod{x}\implies x\mid133 $$ Además, como $100-5=95$ tenemos $$ 100\equiv5\pmod{x}\implies x\mid95 $$ Las posibilidades de $x$ puede derivarse del hecho de que $133=7\cdot19$ y $95=5\cdot19$ .

Answer 2

Si $a,b,c,d$ son números específicos y $x$ es desconocido (todos los enteros positivos) entonces la ecuación $a\equiv b\pmod x$ y $c\equiv d\pmod x$ por definición significa $x$ es un divisor común de los dos números $a-b$ y $c-d$ .

La solución no tiene por qué ser única. Así que resolverlas es lo mismo que encontrar el conjunto de todos los divisores comunes. Esto es lo mismo que encontrar $g=\gcd(a-b,c-d)$ y luego enumerar todos los divisores de $g$ .

Answer 3

Sugerencia :

Las ecuaciones dadas implican $150-17=7\cdot19$ y $100-5=5\cdot19$ para ser múltiplos de $x$ . El $\gcd$ es $19$ .

Answer 4

Por definición, su sistema es equivalente a $\ x\mid 133,\ x\mid 95,\,\ $ es decir $\,\ x\mid 133,195$ .

El propiedad universal del gcd nos dice cómo combinar este par de declaraciones de divisibilidad en una equivalente una única declaración de divisibilidad, a saber

$$ x\mid a,b \iff x\mid \gcd(a,b)$$