Un ejemplo tonto:
$\exists x (P (x, x)) \leftrightarrow \exists x\forall x (P (x, x))$
La intuición me dice que, al tratarse de la misma variable, el Exists del lado derecho no tiene importancia, por lo que ese lado de la ecuación sería equivalente a $\forall x (P (x, x))$ .
Ahora, respecto al resultado final, ¿la existencia de una x que satisface P implica que todas las x lo hacen? Si es así, ¿por qué?
Aunque son confusos, los cuantificadores anidados están bien formados. El cuantificador más interno vincula todas las ocurrencias de la entidad $x$ dentro de su ámbito de aplicación, sin dejar ninguno libre para ser limitado por el cuantificador más externo.
Para mayor claridad, los tokens de la declaración $\exists x \big(P (x, x)\big) \leftrightarrow \exists x\forall x \big(P (x, x)\big)$ puede ser reemplazado por alfa como:
$$\exists x \big(P (x, x)\big) \leftrightarrow \exists y\forall z \big(P (z, z)\big)$$
Como usted intuía, $\exists y\forall z \big(P (z, z)\big)$ equivale a $\forall z\big(P(z,z)\big)$ (si en un dominio vacío ). Porque si $\forall z\big(P(z,z)\big)$ es cierto cualquier $y$ lo hará cierto, y si $\forall z\big(P(z,z)\big)$ es falso, no $y$ puede hacerla realidad.
Así que el enunciado dice, efectivamente, que la existencia de cualquier entidad que satisfaga el predicado es equivalente a que todas las entidades lo hagan.
$$\exists x \big(P (x, x)\big) \leftrightarrow \forall x \big(P (x, x)\big)$$
Esto equivale a:
$$\forall x \big(\neg P (x, x)\big) \vee \forall x \big(P (x, x)\big)$$
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Ciertamente, la respuesta a tu último párrafo es "no": hay un número entero que es impar, ¡pero no todos los números enteros son impar!
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@noah, supongamos que tienes $\exists x P(x,x) \rightarrow \forall x P(x,x)$ entonces $\neg \exists x P(x,x) \vee \forall x P(x,x)$ $\forall x \neg P(x,x) \vee \forall x P(x,x)$ eso es falso sólo si ambos lados son falsos, lo cual es imposible. Aún así, me parece raro, por eso pregunté.
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En el supuesto que $\exists x P(x,x) \rightarrow \forall x P(x,x)$ La existencia de una x que satisface P implica que todas las x la satisfacen, eso es lo que dice la suposición. Y bajo esa suposición, como has deducido correctamente, también $\forall x \neg P(x,x) \vee \forall x P(x,x)$ retiene. Pero sólo bajo esa suposición. En general, no es cierto que $\exists x P(x,x) \rightarrow \forall x P(x,x)$ . Noah dio un ejemplo de por qué no.