¿El límite $\lim_{n\to\infty}\left(x^n-1\right)^{1/n}$ ¿Existe?

Question

Para $x$ dado, ¿qué opinas del siguiente límite?

$$ \lim_{n\to\infty}\left(x^n-1\right)^{1/n}. $$

Qué he intentado y cuáles son los problemas a los que me enfrento:

Dejemos que $f(x, n)=\left(x^n-1\right)^{1/n}$ . Tenemos:

$$ \log f(x, n)=\dfrac{1}{n}\log\left(x^n-1\right)=\dfrac{1}{n}\log\left(1-x^{-n}\right)+\dfrac{1}{n}\log\left(x^n\right), $$

En primer lugar, no sé si puedo aplicar el registro o no? Supongo que $x$ debe ser real? y debe ser positiva? ¿y compleja?

Finalmente, $$ \lim_{n\to\infty}\left(x^n-1\right)^{1/n}=\log x. $$

Answer 1

Esta es una solución sencilla, para grandes $n$ (y suponiendo que $x>1$ ya que, de lo contrario, ¿cómo se puede tomar $n$ raíz),

$$\frac{1}{2}x^n \leq x^n-1 \leq x^n$$
así que

$$\frac{1}{\sqrt[n]{2}}x \leq (x^n-1)^{\frac{1}{n}} \leq x$$
Así que $$(x^n-1)^{\frac{1}{n}} \to x$$

Answer 2

Otro enfoque, si se me permite, sólo por diversión:

$\lim_{n\to\infty}\left(x^n-1\right)^{1/n}=e^{ln(\lim_{n\to\infty}\left(x^n-1\right)^{1/n})}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{ln\left(x^n-1\right)^{1/n}}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\left(x^nln(x)\right)}{x^n-1}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\left(x^n(ln(x))^2\right)}{x^n(lnx)}}=e^{\lim_{n\to\infty}lnx}=e^{lnx}=x$