¿Todo recubrimiento abierto de un esquema contiene también un recubrimiento afín?

Question

Dejemos que $U_i$ denotan una familia de subconjuntos abiertos de un esquema $X$ que no es afín, por lo que $X = \bigcup U_i$ . ¿Puede esta cobertura transformarse de alguna manera en una cobertura afín de $X$ ?

Answer 1

Es un hecho que el conjunto de subconjuntos abiertos afines de un esquema $X$ forman una base. Así que sí, sus conjuntos abiertos se pueden dividir en abiertos afines.

La idea es más o menos la siguiente. En la situación afín, los subconjuntos abiertos afines $D(f)$ forman una base de $Spec(A)$ para todos $f \in A$ . Consideremos ahora la situación general. Tomemos un subconjunto abierto (quizás no afín) $U$ de $X$ . Sea $x \in U$ . Por definición de "esquema", existe una vecindad abierta afín $Spec(A) \ni x$ . $U \cap Spec(A)$ está abierto en $Spec(A)$ para que podamos encontrar algún barrio $D(f)$ de $x$ contenida en $U \cap Spec(A)$ . Así que encontramos una vecindad afín de $x$ contenida en $U$ .