Se sabe que si $X_i$ son iid, $E(|X_i|) < \infty$ y $E(X_i) = 0$ entonces $S_n = \sum_1^n X_i$ es una martingala. Supongamos que todos los $X_i$ se definen con respecto al espacio muestral $\Omega$ .
No entiendo por qué $S_n$ es $\sigma(X_1, .. X_n)$ -¿Medible? Específicamente, estoy confundido sobre el espacio muestral para $S_n$ . Para ser $\sigma(X_1, .. X_n)$ -el espacio muestral de $S_n$ debe ser $\Omega$ . No veo por qué. Se agradecería cualquier ayuda.
Dado que todos los $X_i$ se definen en $\Omega$ y son realmente valorados, $S_n\colon \Omega\to\mathbb R$ está bien definido como $S_n(\omega):=\sum_{j=1}^nX_j(\omega)$ .
El $\sigma$ -Álgebra $\mathcal A$ generado por $X_j,1\leqslant j\leqslant n$ es el más pequeño (para la inclusión) $\sigma$ -algebra haciendo los mapas $X_j\colon\Omega\to\mathbb R$ medible. Esto significa, utilizando proyecciones, que $\omega\mapsto (X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))$ es medible. Aquí $\mathbb R^n$ está dotado de la ley de Borel $\sigma$ -Álgebra. Esto implica que para cada mapa medible $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ el mapa $f(X_1,\dots,X_n)$ es $\mathcal F$ -Medible. Utilizando esto con $f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{j=1}^nx_j$ hemos terminado.
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