La pregunta. Supongamos que $0 < \alpha < \beta$ son fijos, y $a_n$ es una secuencia arbitraria de números reales. ¿Se sabe cómo acotar desde abajo \begin{equation*} \int_0^{T} \Big| \sum_{\alpha T < n < \beta T} a_n n^{-it} \Big|^2 dt? \end{equation*}
Lo que sé. El teorema del valor medio para los polinomios de Dirichlet nos dirá \begin{equation*} \int_0^{T} \Big| \sum_{n \leq N} a_n n^{-it} \Big|^2 dt = (T + O(N)) \sum_{n \leq N} |a_n|^2, \end{equation*} y la constante implícita es absoluta. Esto se encarga de $\beta$ lo suficientemente pequeño.
Si $\beta$ es grande, y $\alpha$ es pequeño, entonces se puede utilizar el método de Rudnick y Soundararajan ( http://arxiv.org/abs/math/0601498 ), como sigue. Por Cauchy-Schwarz, \begin{equation*} \Big|\int_0^{T} \Big(\sum_{n \leq N} a_n n^{-it} \Big) \Big(\sum_{m \leq M} a_m m^{it} \Big) dt \Big|^2 \leq \int_0^{T} \Big| \sum_{n \leq N} a_n n^{-it} \Big|^2 dt \int_0^{T} \Big| \sum_{n \leq M} a_n n^{-it} \Big|^2 dt. \end{equation*} Elección de $M$ lo suficientemente pequeño, digamos $M \leq \varepsilon T$ permite el cálculo del lado izquierdo de arriba (los términos diagonales dominan). El teorema del valor medio para los polinomios de Dirichlet trata la suma sobre $m \leq M$ en el lado derecho. Reordenando, se obtiene un límite inferior \begin{equation*} \int_0^{T} \Big| \sum_{n \leq N} a_n n^{-it} \Big|^2 dt \gg T \sum_{n \leq \varepsilon T} |a_n|^2. \end{equation*} Sin embargo, si $a_n = 0$ para $n \leq \varepsilon T$ Entonces este método se rompe.
