Intento de solución $xuu_x+yuu_y=u^2-1$

Question

Resolver $$ \begin{cases} xuu_x+yuu_y=u^2-1\\ u(x,x^2)=x^3\\ \end{cases} $$

He conseguido utilizar el método de Lagrange:

$$F\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{x^2}{u^2-1}$$

Aplicando $u(x,x^2)=x^3$ :

$$u^2=\frac{y^6-x^6}{x^2y^2}+1$$

Pero al conectarlo a la EDP se ve que hay un error

Answer 1

Llamando a $v = u^2$ tenemos

$$ \frac 12 xv_x +\frac 12 y v_y = v-1 $$

con solución

$$ v = x^2\phi\left(\frac yx\right)+1 $$

ahora

$$ v(x,x^2) = x^6\Rightarrow \phi\left(\frac yx\right) = \frac{y^6-x^6}{x^4y^2} $$

y

$$ v(x,y) = x^2\left(\frac{y^6-x^6}{x^4y^2}\right)+1 $$

y finalmente

$$ u(x,y) = \sqrt{\frac{y^6-x^6}{x^2y^2}+1} $$

Answer 2

Para la EDP dada, la ecuación auxiliar de Lagrange $$\dfrac{dx}{xu}=\dfrac{dy}{yu}=\dfrac{du}{u^2-1}\tag1$$ De las dos primeras relaciones, $$\dfrac{dx}{xu}=\dfrac{dy}{yu}\implies \dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}$$ Integrando tenemos $$\log x~=~\log y~+~\log c_1\implies\dfrac xy=c_1$$ donde $~c_1~$ es una constante.

De nuevo de la primera y la última relación, $$\dfrac{dx}{xu}=\dfrac{du}{u^2-1}\implies \dfrac{dx}{x}=\dfrac{u~du}{u^2-1}$$ Integrando tenemos $$2\log x~=~\log(u^2-1)~+~\log c_2\implies \dfrac{x^2}{u^2-1}~=~c_2$$ donde $~c_2~$ es una constante.

Por lo tanto, la solución general es $$F\left(\dfrac xy\right)=\dfrac{x^2}{u^2-1}\tag2$$ donde $~F~$ es una función arbitraria.

Ahora bien, dado que $~u(x,x^2)=x^3~$ es decir, cuando $~y=x^2~$ entonces $~u=x^3~$ . Así que desde $(2)$ tenemos $$F\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac{x^2}{x^6-1}$$ Por lo tanto, $$F\left(\dfrac xy\right)=\dfrac{y^2/x^2}{y^6/x^6-1}=\dfrac{x^4y^2}{y^6-x^6}$$ De la ecuación $(2)$ tenemos $$\dfrac{x^4y^2}{y^6-x^6}=\dfrac{x^2}{u^2-1}$$ $$\implies u^2-1=\dfrac{y^6-x^6}{x^2y^2}$$ $$\implies u^2(x,y)=\dfrac{y^6-x^6}{x^2y^2}~+~1$$ Esta es la solución de la EDP dada.

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Comprobación cruzada : Si es posible, deje que $~ u^2(x,y)=\dfrac{y^6-x^6}{x^2y^2}~+~1~\tag3$ es la solución de la EDP dada $$\begin{cases} xuu_x+yuu_y=u^2-1\\ u(x,x^2)=x^3\\ \end{cases}~.$$

Ahora poniendo $~y=x^2~$ en la solución tenemos $$~ u^2(x,x^2)=\dfrac{x^{12}-x^6}{x^2x^4}~+~1~=~x^{6}-1~+~1~=x^6\implies u(x,x^2)=x^3$$ Por lo tanto, se cumple la condición dada.

¿Ahora comprobamos si el valor satisface la EDP o no?

Diferenciando la ecuación $(3)$ parcialmente con respecto a $~x~$ tenemos $$2uu_x=\dfrac{-6x^5}{x^2y^2}~-~2~\dfrac{y^6-x^6}{x^3y^2}=-2\dfrac{2x^6+y^6}{x^3y^2}$$ Diferenciando de nuevo la ecuación $(3)$ parcialmente con respecto a $~y~$ tenemos $$2uu_y=\dfrac{6y^5}{x^2y^2}~-~2~\dfrac{y^6-x^6}{x^2y^3}=2\dfrac{x^6+2y^6}{x^2y^3}$$ Ahora $$xuu_x+yuu_y=-~\dfrac{2x^6+y^6}{x^2y^2}~+~\dfrac{x^6+2y^6}{x^2y^2}=\dfrac{-x^6+y^6}{x^2y^2}=u^2-1$$ Por lo tanto, está claro que

$$~ u^2(x,y)=\dfrac{y^6-x^6}{x^2y^2}~+~1$$ es la solución de la EDP dada $$\begin{cases} xuu_x+yuu_y=u^2-1\\ u(x,x^2)=x^3\\ \end{cases}~.$$