El rango de la función de medida no puede ser la mitad del intervalo abierto

Question

Explique por qué no existe un espacio de medidas $(X,S,\mu)$ con la propiedad de que $\{ \mu(E):E \in S \}= [0, 1)$

Mi enfoque fue el siguiente -

Por cada $n \in \mathbb{N}$ hay un conjunto $E_n \subset X$ tal que $\mu (E_n) = \frac{1}{2^n}$

Si estos $E_i$ eran disjuntos, podríamos decir que $\mu (\cup E_n) = \sum \mu(E_n) = 1$ que es una contradicción. Sin embargo, no puedo decir que el $E_i$ son disjuntos.

Answer 1

Supongamos que existe una medida de este tipo y pongamos $a:= \mu(X)\in [0,1)$ , . Entonces $\mu(A)\leq a$ para todos $A\subset X$ . Desde $\{ \mu(E):E \in S \}= [0, 1)$ para cada $n$ existe $A_n\subset X$ tal que $\mu(A_n)=1-\frac{1}{n}$ y para un tamaño suficientemente grande $n$ esto es más grande que $a$ , lo cual es una contradicción.

Answer 2

Definitivamente queremos ver una unión contable de conjuntos. No nos preocupemos por la disyunción. Para cada $n$ , dejemos que $E_{n}$ tienen medida $1 - \frac{1}{n}$ . ¿Cuál es la medida de $\cup_{n = 1}^{\infty} E_{n}$ ?