Sobre un teorema del espacio dual

Question

Thm: Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita con una base ordenada $\beta=\{x_1,\ldots,x_n\}$ . Sea $f_i$ , $1\leq i\leq n$ sea el $i^{\text{th}}$ función de coordenadas con respecto a $\beta$ como se define. Sea $\beta^{*}=\{f_1,f_2,\ldots,f_n\}$ . Entonces $\beta^{*}$ es una base ordenada para $V^{*}$ y, para cualquier $f\in V^{*}$ tenemos $f=\sum_{i=1}^n f(x_i)f_i$ .

Mi pregunta es: ¿es $f$ un elemento de $V^{*}$ y es que un subespacio de $V^{*}$ ? Así que para $f(x_i)$ es una función de coordenadas con respecto a $x_i$ y ¿cómo solemos representar/definir esa función, o son siempre las mismas?

Answer 1

Desde $\beta$ es una base para $V$ para cada $v \in V$ existe un único escalar $a_1,a_2,\dots,a_n$ (digamos, en algún campo $F$ ) para que $v = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n$ ¿verdad?

Así, para $i \in \{1,\dots,n\}$ la función $f_i : V \to F$ se define por $f_i(x) = a_i$ . Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ , considere la base $\beta = \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ . Obsérvese que cualquier $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ puede escribirse como $$(x,y,z) = z(1,1,1) + (y-z)(1,1,0) + (x-y)(1,0,0)$$ y luego definimos tres funciones $f_1,f_2,f_3 \in (\mathbb{R}^3)^*$ por \begin{align} f_1(x,y,z) &= z \\ f_2(x,y,z) &= y-z \\ f_3(x,y,z) &= x-y. \end{align} Ahora, elegimos un elemento arbitrario de $(\mathbb{R}^3)^*$ por ejemplo, $g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definido por $g(x,y,z) = x+y+z$ . Según el teorema, \begin{align} g &= g(1,1,1)f_1 + g(1,1,0)f_2 + g(1,0,0)f_3 \\ &= 3f_1 + 2f_2 + f_3 \end{align} y esto es correcto, ya que cuando evaluamos $3f_1 + 2f_2 + f_3$ en $(x,y,z)$ obtenemos \begin{align} (3f_1 + 2f_2 + f_3)(x,y,z) &= 3f_1(x,y,z) + 2f_2(x,y,z) + f_3(x,y,z) \\ &= 3z + 2(y-z) + (x-y) = x+y+z. \end{align} Ahora, el teorema afirma que estas funciones de coordenadas (que dependen de la elección de una base) forman una base para el espacio de todas las funciones lineales que van de $V$ al campo, es decir, al espacio dual.

Además, el teorema nos dice que para escribir cada elemento del espacio dual en términos de estas funciones de coordenadas, sólo hay que evaluar la función que se desea en la base y luego elegir los escalares resultantes.