¿Cómo determinar los valores iniciales de los métodos lineales de varios pasos?

Question

Estoy muy confundido con la forma de determinar los valores iniciales para los métodos lineales de varios pasos.

He buscado en la página wiki método lineal multipaso . Y dice que para Two-step Adams–Bashforth los valores de partida se obtienen simplemente por Euler's method .

También he encontrado esta página . Y el caso es que la solución exacta ya se conoce.

Así que mi pregunta es la siguiente: para los casos comunes, ¿cómo determinar los valores de partida?

Answer 1

En pocas palabras, lo que está diciendo es que usted tiene un método numérico que requiere ciertos datos de inicialización y las condiciones iniciales dadas no lo proporcionan.

¿Cómo se obtienen las condiciones iniciales suficientes cuando no están dadas? La respuesta es utilizar otro método numérico para iniciar el proceso (¿está claro por qué esto es mejor que adivinar y resuelve el problema de conocer una solución de forma cerrada). En el ejemplo que citas, necesitan dos valores de partida y la BVP sólo proporcionaba uno. Recurren a usar el método de Euler (y cualquier opción que te dé otro punto numéricamente sería suficiente) para encontrar otro valor que ponga en marcha el método de los dos pasos.

En la práctica, las cosas se vuelven un poco más extrañas cuando se llega a un punto en el que se utiliza un método de cuarto orden, como el método Adams-Bashforth de cuatro pasos. Para esto:

• Necesitamos cuatro valores de partida, así que utilizamos un método Runge-Kutta de cuarto orden para encontrar esos valores de partida (en los problemas, eligen un método en el que conocen la solución exacta para comparar, pero hacen trampa y lo utilizan para iniciar el proceso, ya que RK-4 es mucho trabajo).
• El siguiente paso es calcular realmente una aproximación mediante el método explícito de Adams-Bashforth de cuarto orden y esto se llama "predictor".
• Por último, utilizamos un método implícito de Adams-Moulton como "corrector".

El método implícito se utiliza para mejorar las aproximaciones obtenidas por el método explícito. Por lo tanto, estos métodos se conocen como "predictor-corrector" y es de esperar que ahora puedas investigar un poco más y ver si se unen.

Answer 2

Para AB2 se puede aplicar cualquier método de primer orden de un solo paso para generar el valor inicial que falta. Pero vale la pena mencionar que cualquier método de segundo orden de un paso daría un resultado ligeramente mejor. En general, para un LMM de n-ésimo orden se puede aplicar un método de un paso de (n-1)-ésimo orden para generar los valores iniciales que faltan, aunque cualquier método de un paso de n-ésimo orden daría un resultado ligeramente mejor.

Answer 3

Usar la solución exacta para encontrar los valores de partida es básicamente hacer trampa; ¿qué sentido tiene integrar numéricamente cuando ya puedes conocer esas soluciones exactas? Mi opinión es que la página que enlazaste es básicamente una demostración de cómo podrías utilizar un método de varios pasos, después de conocer los valores de partida utilizar algunos proceso externo (que en su caso se limita a utilizar los valores reales). Sin embargo, en la práctica hay que utilizar un método de un solo paso (por ejemplo, el método de Euler) para calcular los valores iniciales, como explica correctamente la página de la wikipedia.