¿Qué es? $\lim_{n\to\infty}P\left(\sum^n_{i=1}X_i\ge\sum^n_{i=1}Y_i\right)?$

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...$ sean independientes e idénticamente distribuidos con una distribución uniforme sobre $(0,1)$ y $Y_1,Y_2,...$ sean independientes e idénticamente distribuidos con densidad $e^{-x}\cdot\mathbb{I}\{x\ge0\}$ .

¿Cómo puedo calcular

$$\lim_{n\to\infty}P\left(\sum^n_{i=1}X_i\ge\sum^n_{i=1}Y_i\right)?$$

Mi instinto me dice que debería reescribir la expresión para poder utilizar la ley débil de los grandes números, pero no sé cómo.

Answer 1

Representar la probabilidad límite de forma equivalente como $$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i - Y_i \right) > 0 \right)$$

Entonces la media de $n$ las muestras muestreadas de la diferencia de estas dos distribuciones convergerían al valor esperado de la diferencia de estas dos distribuciones por la ley débil de los grandes números. En este caso, el valor esperado sería igual a $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ por lo que el límite sería igual a $0$ desde $-\frac{1}{2} \not > 0$ .