Interior de los números naturales en un espacio métrico

Question

Estoy tratando de entender la definición de conjuntos abiertos y puntos interiores en un espacio métrico.

No estoy seguro de por qué $$ Int(\mathbb{N})=\phi.$$

$ A\subseteq X, a \in X $ entonces $a$ se dice que es un punto interior de $A$ si $ \exists r \in \mathbb{R} >0 $ tal que $ U(a,r) \subseteq A. $

Donde $U(a,r)$ denota el centro del balón abierto $a$ radio $r$ .

Ahora aplicando esta definición dejando $X= \mathbb{R}$ y $A=\mathbb{N}$ y la métrica habitual en $\mathbb{R}$ Entonces, ¿podría no tomar $a=2, r=3$ entonces toma digamos $x=1$ entonces $d(a,x)=d(2,1)=|2-1|= 1 < 3.$ Claramente $1 \in \mathbb{N}$ ...

O he entendido mal y es el caso que cada punto del balón abierto tiene que pertenecer a $A$ ?

Gracias.

Answer 1

No, tu razonamiento no funciona.

Si, como dices, tomas $a=2, r=3$ hay que preguntarse si $U(2,3)\subseteq \mathbb N$ .

Pero $U(2,3)$ es el intervalo abierto $(-1,5)$ que es no un subconjunto de $\mathbb N$ . Por ejemplo, $(-1,5)$ contiene el punto $\frac12$ que no está en $\mathbb N$ .