Pruebas de matrices similares

Question

En nuestra clase de álgebra lineal nos hicieron estas dos preguntas y no estoy seguro de cómo empezar ninguna. ¡Cualquier ayuda sería genial!

Considere dos $(n \times n)$ -matrices $A$ y $B$ que son similares.

(a) Demuestre por inducción que, para todo $n \in N$ las matrices $A^n$ y $B^n$ son similares.

(b) Para cualquier polinomio $q$ , demuestran que $q(A)$ y $q(B)$ son similares.

Answer 1

Si $A\sim B$ entonces $A = P^{-1} B P$

$A^2 = P^{-1} B PP^{-1} B P\\ PP^{-1} = I\\ A^2 = P^{-1} B B P = P^{-1} B^2 P$

Si $A^n = P^{-1} B^n P\\ A^{n+1} = AA^n = P^{-1} B PP^{-1}B^nP = P^{-1}B^{n+1}P$

$q(A) = c_0I + c_1 A + \cdots c_n A^n\\ P^{-1}q(A)P = c_0I + c_1 P^{-1}A P + \cdots c_n P^{-1}A^nP\\ P^{-1}q(A)P = c_0I + c_1 B + \cdots c_n B^n$

Answer 2

Sugerencia :

$$A=P^{-1}BP\implies A^n=P^{-1}B^nP$$

Answer 3

Para demostrar (a) por inducción nótese que, como $A$ es similar a $B$ :

$A^1 = A = P^{-1}BP = P^{-1}B^1P, \tag 1$

el caso base ( $k = 1$ ) de la hipótesis de inducción

$A^k = P^{-1}B^kP \tag 2$

se nos da; si (2) se mantiene, entonces

$A^{k + 1} = AA^k = P^{-1}BP P^{-1}B^kP = P^{-1}BB^kP = P^{-1}B^{k + 1}P, \tag 3$

por lo que la inducción es completa y tenemos

$A^n = P^{-1}B^nP \tag 4$

que se mantiene para todos los positivos $n \in \Bbb Z$ por lo que la parte (a) está cubierta. En cuanto a la parte (b), si (4) es vinculante para todos esos $n$ , entonces dado cualquier polinomio $q(x)$

$q(x) = \displaystyle \sum_0^{\deg q} q_i x^i, \tag 5$

tenemos

$q(A) = \displaystyle \sum_0^{\deg q} q_i A^i, \tag 5$

de donde por (4),

$q(A) = \displaystyle \sum_0^{\deg q} q_i P^{-1}B^iP = P^{-1}( \sum_0^{\deg q} q_i B^i)P = P^{-1}q(B)P, \tag 6$

que establece el punto b).