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Como se muestra en la segunda figura de OP: De $P$ en la hipérbola, deje caer una perpendicular a $M$ en el eje transversal, $Q$ sea uno de los puntos para lo cual $\overline{MQ}$ es tangente al círculo. (Discutiremos que uno de los puntos siguientes). A continuación, $P$ y $Q$ son "puntos correspondientes". (Así, hemos intercambiado la "transferencia $M$ perpendicularmente al círculo" en el caso de la elipse para "transferir $M$ tangencialmente al círculo" en el caso de la hipérbola, lo que tiene cierto sentido en un "polo y polar" contexto).
La construcción puede ser invertida: Desde $Q$ en el círculo, que $M$ sea tal que $\overline{QM}$ es tangente a la circunferencia, entonces dejemos que $P$ sea uno de los puntos en la hipérbola tal que $\overline{MP}$ es perpendicular al eje transversal de la hipérbola. (De nuevo, hay ambigüedad en la elección de $P$ .)
Dejando de lado las ambigüedades, encontramos que todo punto finito $P$ en cualquiera de las ramas de la hipérbola corresponde a algún punto de la circunferencia unitaria, excepto sus puntos superior e inferior. Los dos "puntos en el infinito" de la hipérbola corresponden a esos dos últimos puntos del círculo.
En cuanto a esas ambigüedades... Esta animación muestra la forma "natural" de resolverlas. Como $Q$ viaja normalmente alrededor del círculo a través de los cuadrantes 1, 2, 3, 4, los correspondientes $P$ viaja a lo largo de la hipérbola en los cuadrantes 1, 3, 2, 4; los cuadrantes 2 y 3 están "volteados".
Esto se debe a que como $Q$ pasa de Q1 a Q2 por el punto más alto del círculo, $P$ pasa de Q1 a Q3 "por la asíntota azul". Asimismo, como $Q$ pasa del tercer al cuarto trimestre, $P$ pasa de Q2 a Q4 "por la asíntota roja".
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Esta noción de cambio de cuadrante surge también de forma natural de las ecuaciones. Dejemos que la hipérbola tenga la ecuación $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \tag{1}$$ para que la ecuación del círculo auxiliar sea $$x^2+y^2=a^2 \tag{2}$$ Para un punto $Q = (x_Q,y_Q)$ en el círculo, se puede demostrar que $M = (a^2/x_Q,0)$ . Por supuesto, $P$ comparte su $x$ -coordinar con $M$ La $y$ -coordinada, resuelta en $(1)$ tiene un signo ambiguo: $$\begin{align}P &= \left(\frac{a^2}{x_Q}, \pm b \sqrt{\frac{(a^2/x_Q)^2}{a^2}-1}\right) = \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\sqrt{\frac{a^2-x_Q^2}{x_Q^2}}\right) = \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\sqrt{\frac{y_Q^2}{x_Q^2}}\right) \\[4pt] &= \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\left| \frac{y_Q}{x_Q}\right|\right)\tag{3}\end{align}$$
Así que, despojamos $y_Q/x_Q$ de su signo, para aplicar inmediatamente un signo ambiguo. Esto parece un poco tonto. La "inversión de cuadrantes" surge al dejar que $y_Q/x_Q$ determinar su propio destino, por lo que tenemos $$P = \left(\frac{a^2}{x_Q},b\frac{y_Q}{x_Q} \right) \tag{4} $$ Así, $P$ 's $y$ -La coordenada es positiva cuando $Q$ tienen el mismo signo; es decir, $P$ está en los cuadrantes 1 y 2 cuando $Q$ está en los cuadrantes 1 y 3; de forma similar, $P$ está en los cuadrantes 3 y 4 cuando $Q$ está en los cuadrantes 2 y 4. De nuevo, los Cuadrantes 2 y 3 están "volteados" para $P$ y $Q$ .
