¿Cómo se definen los "puntos correspondientes" de una hipérbola y su círculo auxiliar?

Question

En el caso de una elipse y su círculo auxiliar (el círculo con eje mayor como diámetro), el significado de "puntos correspondientes" es sencillo. Consideremos el siguiente diagrama que muestra la mitad superior de una elipse con su eje mayor horizontal:

Fuente de la imagen : Centro de Tecnología Educativa de Florida

$QM$ es perpendicular a la horizontal. Aquí $Q$ y $P$ se denominan "puntos correspondientes" en la circunferencia auxiliar y en la elipse respectivamente. Y el ángulo $QOM$ se denomina "ángulo excéntrico" del punto $P$ .

En el caso de una hipérbola, he entendido que la circunferencia auxiliar es la que tiene su centro en el centro de la hipérbola (normalmente el origen) y un diámetro igual a la longitud del eje transversal. Pero no entiendo cómo se definen los "puntos correspondientes" en este caso.

O, en otras palabras, si nos dan una hipérbola y su círculo auxiliar, ¿cómo encontrar el punto correspondiente de la hipérbola para un punto del círculo? Además, ¿cuántos puntos correspondientes en la hipérbola existen para cada punto del círculo (tengo esta duda porque la hipérbola tiene dos ramas y sospecho que un segundo "punto correspondiente" en la otra rama)?

En mi libro, en el apartado "Círculo auxiliar de una hipérbola" se daba un diagrama similar al siguiente:

Fuente de la imagen : Centro de Tecnología Educativa de Florida

Answer 1

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Como se muestra en la segunda figura de OP: De $P$ en la hipérbola, deje caer una perpendicular a $M$ en el eje transversal, $Q$ sea uno de los puntos para lo cual $\overline{MQ}$ es tangente al círculo. (Discutiremos que uno de los puntos siguientes). A continuación, $P$ y $Q$ son "puntos correspondientes". (Así, hemos intercambiado la "transferencia $M$ perpendicularmente al círculo" en el caso de la elipse para "transferir $M$ tangencialmente al círculo" en el caso de la hipérbola, lo que tiene cierto sentido en un "polo y polar" contexto).

La construcción puede ser invertida: Desde $Q$ en el círculo, que $M$ sea tal que $\overline{QM}$ es tangente a la circunferencia, entonces dejemos que $P$ sea uno de los puntos en la hipérbola tal que $\overline{MP}$ es perpendicular al eje transversal de la hipérbola. (De nuevo, hay ambigüedad en la elección de $P$ .)

Dejando de lado las ambigüedades, encontramos que todo punto finito $P$ en cualquiera de las ramas de la hipérbola corresponde a algún punto de la circunferencia unitaria, excepto sus puntos superior e inferior. Los dos "puntos en el infinito" de la hipérbola corresponden a esos dos últimos puntos del círculo.

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En cuanto a esas ambigüedades... Esta animación muestra la forma "natural" de resolverlas. Como $Q$ viaja normalmente alrededor del círculo a través de los cuadrantes 1, 2, 3, 4, los correspondientes $P$ viaja a lo largo de la hipérbola en los cuadrantes 1, 3, 2, 4; los cuadrantes 2 y 3 están "volteados".

Esto se debe a que como $Q$ pasa de Q1 a Q2 por el punto más alto del círculo, $P$ pasa de Q1 a Q3 "por la asíntota azul". Asimismo, como $Q$ pasa del tercer al cuarto trimestre, $P$ pasa de Q2 a Q4 "por la asíntota roja".

Esta noción de cambio de cuadrante surge también de forma natural de las ecuaciones. Dejemos que la hipérbola tenga la ecuación $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \tag{1}$$ para que la ecuación del círculo auxiliar sea $$x^2+y^2=a^2 \tag{2}$$ Para un punto $Q = (x_Q,y_Q)$ en el círculo, se puede demostrar que $M = (a^2/x_Q,0)$ . Por supuesto, $P$ comparte su $x$ -coordinar con $M$ La $y$ -coordinada, resuelta en $(1)$ tiene un signo ambiguo: $$\begin{align}P &= \left(\frac{a^2}{x_Q}, \pm b \sqrt{\frac{(a^2/x_Q)^2}{a^2}-1}\right) = \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\sqrt{\frac{a^2-x_Q^2}{x_Q^2}}\right) = \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\sqrt{\frac{y_Q^2}{x_Q^2}}\right) \\[4pt] &= \left(\frac{a^2}{x_Q},\pm b\left| \frac{y_Q}{x_Q}\right|\right)\tag{3}\end{align}$$

Así que, despojamos $y_Q/x_Q$ de su signo, para aplicar inmediatamente un signo ambiguo. Esto parece un poco tonto. La "inversión de cuadrantes" surge al dejar que $y_Q/x_Q$ determinar su propio destino, por lo que tenemos $$P = \left(\frac{a^2}{x_Q},b\frac{y_Q}{x_Q} \right) \tag{4}$$ Así, $P$ 's $y$ -La coordenada es positiva cuando $Q$ tienen el mismo signo; es decir, $P$ está en los cuadrantes 1 y 2 cuando $Q$ está en los cuadrantes 1 y 3; de forma similar, $P$ está en los cuadrantes 3 y 4 cuando $Q$ está en los cuadrantes 2 y 4. De nuevo, los Cuadrantes 2 y 3 están "volteados" para $P$ y $Q$ .