Paquetes principales abelianos

Question

¿Hay algo especial en el director $G$ -de tal manera que $G$ - ¿Grupo abeliano? ¿Existen algunas consecuencias interesantes de esta propiedad, que no se dan en general?

Answer 1

De forma sencilla, el espacio de clasificación $BG$ para el director $G$ -fajos ( $G$ un grupo abeliano topológico) es a su vez un grupo abeliano topológico, simplemente porque el functor habitual del espacio de clasificación preserva los productos y la multiplicación e inversa en $G$ son homomorfismos continuos. Dado que el conjunto de principales $G$ -bundles sobre cualquier $X$ (asumiendo el tipo de homotopía CW) está en correspondencia biyectiva natural con el conjunto de clases de homotopía de los mapas $X\to BG$ forma naturalmente un grupo abeliano. Si $G$ es discreto, $BG$ es un $K(G,1)$ y este conjunto es $H^1(X;G)$ . En general, se puede definir la cohomología continua para que la conclusión siga siendo cierta.