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Grupos de la permutación y simétrico

Wikipedia tiene páginas separadas para el grupo simétrico y permutación grupo, pero no entiendo cuál es la diferencia entre ellos es. Un grupo simétrico de un conjunto a es el conjunto de todos los bijections de set a sí mismo con la composición de funciones como el grupo de acción. Permutación de un grupo sobre un conjunto a es el conjunto de todas las permutaciones de los elementos en el conjunto.

No son estas dos cosas de la misma cosa?

En una de las páginas de discusión, alguien sugirió que permutación de los grupos no tienen que incluir todas las permutaciones: sólo tienen que ser colecciones de permutaciones en el conjunto cerrado bajo la composición de la etc. Pero esto parece raro. En primer lugar, que no es como me enseñaron, y el segundo (gracias a del teorema de Cayley) parece que es redundante: todos los grupos son "permutación de grupos" en esta lectura.

Hay algunas sutiles diferencias que me estoy perdiendo?

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Neall Puntos 261

En primer lugar, en la página del grupo de permutación, es esta línea "el término permutación el grupo es generalmente limitado a un subgrupo del grupo simétrico".

En segundo lugar, el teorema de Cayley realmente no hace la terminología "grupo de la permutación" redundante. Cuando se habla de un grupo de la permutación, creo que le está dando implícitamente una acción del grupo en un conjunto de objetos. Este es un dato adicional que no sea la estructura del grupo.

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Lorin Hochstein Puntos 11816

"Permutación grupo" generalmente se refiere a un grupo que está actuando (fidelidad) en un conjunto; esto incluye los grupos simétricos (que son los grupos de todas las permutaciones del conjunto), pero también cada subgrupo de un grupo simétrico.

Aunque todos los grupos puede ser realizado como permutación de grupos (actuando sobre sí mismos), este tipo de acción no suelen ayudar en el estudio del grupo; clases especiales de acciones (irreductible, fiel, transitiva, doblemente transitiva, etc), por otro lado, puede dar un montón de información acerca de un grupo. Por ejemplo, Jordania demostrado que la única finito bruscamente cinco grupos transitivas son $A_7$, $S_6$, $S_5$, y la Mathieu grupo $M_{12}$. (Un "bruscamente cinco transitiva grupo" es un grupo de $G$ que actúa sobre un conjunto $X$ con cinco o más elementos, de tal manera que por cada diez elementos $a_1,\ldots,a_5,b_1,\ldots,b_5\in X$,$a_i\neq a_j$$i\neq j$$b_i\neq b_j$$i\neq j$, existe una y sólo una $g\in G$ tal que $g\cdot a_i = b_i$). (De hecho, Jordania mostró que la única finito bruscamente $k$-trasitive gruops de $k\geq 4$ $S_k$, $S_{k+1}$, $A_{k+2}$, $M_{11}$, y $M_{12}$; véase la http://en.wikipedia.org/wiki/Mathieu_group.)

Puedes pensar en una permutación grupo como un grupo de $G$, junto con un fiel acción $\sigma\colon G\times X\to X$ sobre un conjunto $X$ (fieles aquí significa que si $gx=x$ todos los $x$,$g=e$). Cayley del Teorema indica que cada grupo $G$ puede ser considerado como una permutación de grupo, mediante la adopción de $X$ a ser el conjunto subyacente de $G$, e $\sigma$ a la multiplicación. Pero esto le da una incrustación de $G$ en un gran grupo simétrico, debido a que el conjunto sobre el que se está actuando es grande. Por lo general, obtener más información si usted está actuando en es "pequeña"-ish.

La razón de Cayley del Teorema es que, históricamente, la gente sólo se considera permutación grupos: las colecciones de funciones que actuó en juegos (los juegos de raíces de un polinomio, los puntos en el plano a través de simetrías, etc). Cayley estaba tratando de abstraer la noción de grupo; a continuación señaló que su más abstracta definición ciertamente incluye todas las cosas que la gente ya se estaba considerando, y que en realidad no introducir nuevos en el sentido de que cada abstracto grupo podría ser considerado como una permutación de grupo. Pero, como se señaló, a veces es más conveniente o útil para considerar el grupo de manera abstracta, a veces a considerar como un grupo de permutaciones. Tener ambos puntos de vista es mejor que tener sólo uno. Creo que del Teorema de Cayley tiene más interés histórico de interés práctico en estos días, pero su kilometraje puede variar.

0voto

BalaK Puntos 6

Un grupo de la permutación es un subgrupo de un grupo simétrico en un conjunto S.

http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node10.html - para más detalles.

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