"Permutación grupo" generalmente se refiere a un grupo que está actuando (fidelidad) en un conjunto; esto incluye los grupos simétricos (que son los grupos de todas las permutaciones del conjunto), pero también cada subgrupo de un grupo simétrico.
Aunque todos los grupos puede ser realizado como permutación de grupos (actuando sobre sí mismos), este tipo de acción no suelen ayudar en el estudio del grupo; clases especiales de acciones (irreductible, fiel, transitiva, doblemente transitiva, etc), por otro lado, puede dar un montón de información acerca de un grupo. Por ejemplo, Jordania demostrado que la única finito bruscamente cinco grupos transitivas son $A_7$, $S_6$, $S_5$, y la Mathieu grupo $M_{12}$. (Un "bruscamente cinco transitiva grupo" es un grupo de $G$ que actúa sobre un conjunto $X$ con cinco o más elementos, de tal manera que por cada diez elementos $a_1,\ldots,a_5,b_1,\ldots,b_5\in X$,$a_i\neq a_j$$i\neq j$$b_i\neq b_j$$i\neq j$, existe una y sólo una $g\in G$ tal que $g\cdot a_i = b_i$). (De hecho, Jordania mostró que la única finito bruscamente $k$-trasitive gruops de $k\geq 4$ $S_k$, $S_{k+1}$, $A_{k+2}$, $M_{11}$, y $M_{12}$; véase la http://en.wikipedia.org/wiki/Mathieu_group.)
Puedes pensar en una permutación grupo como un grupo de $G$, junto con un fiel acción $\sigma\colon G\times X\to X$ sobre un conjunto $X$ (fieles aquí significa que si $gx=x$ todos los $x$,$g=e$). Cayley del Teorema indica que cada grupo $G$ puede ser considerado como una permutación de grupo, mediante la adopción de $X$ a ser el conjunto subyacente de $G$, e $\sigma$ a la multiplicación. Pero esto le da una incrustación de $G$ en un gran grupo simétrico, debido a que el conjunto sobre el que se está actuando es grande. Por lo general, obtener más información si usted está actuando en es "pequeña"-ish.
La razón de Cayley del Teorema es que, históricamente, la gente sólo se considera permutación grupos: las colecciones de funciones que actuó en juegos (los juegos de raíces de un polinomio, los puntos en el plano a través de simetrías, etc). Cayley estaba tratando de abstraer la noción de grupo; a continuación señaló que su más abstracta definición ciertamente incluye todas las cosas que la gente ya se estaba considerando, y que en realidad no introducir nuevos en el sentido de que cada abstracto grupo podría ser considerado como una permutación de grupo. Pero, como se señaló, a veces es más conveniente o útil para considerar el grupo de manera abstracta, a veces a considerar como un grupo de permutaciones. Tener ambos puntos de vista es mejor que tener sólo uno. Creo que del Teorema de Cayley tiene más interés histórico de interés práctico en estos días, pero su kilometraje puede variar.
