Dejemos que $\sum\limits_{n=1}^\infty a_k$ sea una serie convergente, entonces la siguiente afirmación es cierta:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_{k} = 0$$
Desde $\frac{1}{n}$ es una serie nula y la suma parcial nunca será mayor que $\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} = c$ el límite es obviamente $0$ .
¿Cómo podemos argumentar con esto, para que sea suficiente para una prueba?
En $\varepsilon$ forma, dado $$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=c$$ tenemos $$\left| S_n - c \right|<\varepsilon$$ de algunos $n$ en adelante. Entonces $$\left| \frac{S_n}{n} - 0 \right|=\left| \frac{S_n}{n} -\frac{c}{n}+\frac{c}{n}- 0 \right|\leq\left| \frac{S_n}{n} -\frac{c}{n}\right|+\left|\frac{c}{n}- 0 \right|<\frac{\varepsilon}{n}+\left|\frac{c}{n}\right|=\\ \frac{1}{n}\left(\varepsilon+|c|\right)$$ y esto va para $0$ según el teorema de squeeze.
La serie converge entonces $a_n\to 0$ entonces usando esto: General Cesaro $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sum_\limits{k=0}^{n}\lambda_k}\sum_\limits{k=0}^{n}\lambda_k a_k =\lim\limits_{n\to\infty} a_n$
concluimos $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_{k} = 0$$
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La suma parcial puede ser definitivamente mayor que $c$ . Puede que te resulte más fácil razonar sobre este problema si defines $A_n = \sum_{i=1}^n a_i$ y luego considerar $(A_n)$ como una secuencia, en lugar de $(a_i)$ como una serie.