No se sabe si existen infinitos pares de primos gemelos. Por lo tanto, es posible (aunque muy improbable) que sólo haya un número finito de primos gemelos, en cuyo caso para primos suficientemente grandes $p$ sería imposible que $p+2$ sea primo (lo mismo para $p-2$ ).
Las cosas se complican mucho más en el escenario más plausible de que haya infinitos pares de números primos gemelos. No podemos decir mucho si no sabemos algo sobre la forma en que se distribuyen asintóticamente los números primos gemelos (sólo que la probabilidad de $p+2$ siendo primo es positivo). Y desgraciadamente no sabemos básicamente nada de esto.
Una famosa conjetura de Hardy y Littlewood - a menudo considerada como cierta, pero no probada - establece que el número de pares de números gemelos menores que $x$ tiene orden
$$ \pi_2(x)\sim C\frac x {(\log x)^2}. $$ para alguna constante $C$ Por otro lado, a partir del teorema de los números primos sabemos que el número de primos menores que $x$ es $$ \pi(x)=\frac x {\log x} $$ que es, por supuesto, de mayor orden. Por lo tanto, si la conjetura es cierta, entonces para $p$ impar la relación de probabilidades $$ \frac {P(p+2\ {\rm prime,\ given\ } p\ {\rm prime})} {P(p+2\ {\rm prime})} $$ es asintóticamente igual a $$ \left(\frac C {\log x}\right)/\left(\frac 1 {\log x}\right)=C. $$
Y, por cierto, la constante $C$ se ha calculado que es aproximadamente $1.32$ . Así, para valores muy grandes de $p$ será ligeramente más probable que $p+2$ sea primo si sabemos que $p$ es primo. La misma historia es válida para $p-2$ .
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