¿Existen áreas de las matemáticas que se sepa que son imposibles de formalizar en términos de teoría de conjuntos?
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Por teoría de conjuntos Supongo que se refiere a la ZFC y no a la muchas alternativas . Como se ha dicho en los comentarios, algunos objetos matemáticos son simplemente demasiado grandes para ser conjuntos. Sin embargo, hay muchas maneras de evitar estos objetos problemáticos. Hay otros tipos de casos problemáticos que son mucho más difíciles de resolver. Por ejemplo, los objetos matemáticos que desafían la formalización en la teoría de conjuntos porque son inherentemente vagos. Recuerdo una gran charla de Andreas Blass en la que hablaba de algunos de estos ejemplos.
Un ejemplo es la idea de un número factible . El conjunto $F$ de números factibles satisface:
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$0 \in F$
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Si $n \in F$ entonces $n + 1 \in F$
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$10^{9565} \notin F$
Evidentemente, el conjunto $F$ no existe en ninguna teoría de conjuntos clásica como ZFC. Sin embargo, el concepto de número factible es definitivamente un concepto matemático real. De hecho, recuerdo que un famoso teórico de los números me dijo " $\log\log n$ nunca es mayor que $10$ ", lo cual es cierto para todos los que son factibles $n$ . Además, muchos han trabajado mucho para dar una base rigurosa a los números factibles (por ejemplo, Rohit Parikh, Vladimir Sazonov).
Otro ejemplo es la noción de Brouwer de secuencia de libre elección . Se comportan de forma muy parecida a la utilización de una moneda de curso legal para generar una secuencia infinita de 0 (cruz) y 1 (cara): en cualquier momento sólo se conoce un segmento inicial finito de la secuencia, y no se sabe nada de los elementos restantes de la misma. El universo de los conjuntos es estático y, por tanto, todo se conoce (al menos en el sentido anterior). Por esta razón, probablemente sea imposible formalizar las secuencias de libre elección en ZFC. Sin embargo, las secuencias de libre elección tienen sentido y se han utilizado para demostrar teoremas en la aritmética intuicionista.
Dicho esto, se han propuesto algunas teorías de conjuntos alternativas para tratar estos objetos difíciles. Por ejemplo, Petr Hájek sugirió utilizar la teoría de semiconjuntos para formalizar la noción de números factibles. Así que, tal vez, todo sea formalizable en algunos la teoría de conjuntos...
JoshL
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La noción de prueba constructiva en matemáticas, tal y como la entienden los propios constructivistas, es una noción inherentemente informal. Ciertamente hay muchos análogos formalizados de la matemática constructiva, que merecen ser estudiados. Pero los constructivistas rechazan la idea de que cualquiera de ellos capte la noción de prueba constructiva, y a menudo hacen la afirmación más fuerte de que la prueba constructiva no puede formalizarse.
