Dejemos que $A$ sea lo siguiente $2\times 2$ matriz:
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$$
Encuentre el valor más pequeño de $n$ tal que las matrices $I=A^0, A^1, A^2, \dots, A^n$ son linealmente dependientes.
No sé muy bien cómo empezar a responder a esta pregunta, ya que hasta ahora sólo hemos definido la independencia lineal para vectores ...y estas son matrices...
Por el Teorema de Cayley-Hamilton cualquier matriz es una raíz de su propio polinomio característico. El polinomio característico de $A$ es $$ p(\lambda)=(1-\lambda)(4-\lambda)-6=\lambda^2-5\lambda-2 $$ Esto significa que $$ 0=A^2-5A-2I $$ y es bastante fácil demostrar que $A$ y $I$ son linealmente independientes, por lo que la respuesta es $n=2$ .
Calcular las potencias de $A$ hasta $A^2$ y escribirlos en una fila:
$$\underbrace{\begin{pmatrix} \fbox{1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{I}, \underbrace{\begin{pmatrix} \fbox{1} & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}_{A},\underbrace{\begin{pmatrix} \fbox{7} & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}}_{A^2}$$
Utilice el coeficiente en la posición $(1,1)$ en la matriz $I$ para aniquilar los coeficientes en $(1,1)$ en $A$ y $A^2$ :
$$\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A-I},\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 10 \\ 15 & 15 \end{pmatrix}}_{A^2-7I}$$
Ahora, fíjate en que $A^2-7I = 5(A-I)$ . Por lo tanto:
$$0 = A^2-7I - 5(A-I) = A^2-5A-2I$$
Desde $A$ no es obviamente un múltiplo de $I$ concluimos que el menor $n$ tal que $\{I, A, \ldots, A^n\}$ depende de la línea es $n = 2$ .
En lugar de un cálculo directo, si se sabe un poco más de álgebra lineal, se puede hacer lo siguiente: Lo que se busca en realidad es el grado del polinomio mínimo de $A$ . Es decir, el polinomio unitario $p(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ de grado mínimo tal que $p(A)=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_1A+a_0=0$ . Además, es bastante útil el teorema de Cayley, no tan fácil de demostrar, que afirma que el polinomio característico $\chi$ de una matriz es un múltiplo del polinomio mínimo, es decir $\chi(A)=0$ .
En su ejemplo, sabemos pues que existe un polinomio de grado $2$ el polinomio característico $\chi(x)=\det(xI-A)$ que satisface $\chi(A)=0$ y como $A$ no es de la forma $aI$ concluimos que la respuesta es $n=2$ .
Y las matrices son vectores, ya que son elementos del espacio vectorial de todos los $2\times2$ matrices. Y tienes $$A_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},A_1=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{pmatrix}\text{, and }A_3=\begin{pmatrix}37 & 54 \\ 81 & 118\end{pmatrix}.$$ Determine sus coeficientes en la base estándar de $\mathbb{R}^{2\times2}$ y utilizar esa información para determinar si son o no linealmente independientes.
La independencia lineal de las matrices se define igual que la de los vectores. Se llama a las matrices $$A_1, A_2,...,A_n$$ son linealmente independientes si $$C_1A_1 + C_2A_2+...+C_nA_n=0 \implies C_1=C_2=...C_n=0$$
Para su matriz de $$A= \begin{bmatrix} 1&2\\3&4\end{bmatrix} $$ puede comprobar que $ A^2$ es una combinación lineal de $A$ y $I$ .
$$ A^2 = 5A+2I $$
Así, $n=2$ es el número más pequeño para el que $I, A,A^2$ son linealmente dependientes.
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