Prueba del teorema 3.19 de Baby Rudin. ¿Es esto correcto?

Question

Este es el teorema:

Dejemos que $\{s_n \}$ y $\{t_n \}$ sean secuencias de números reales. Si $s_n\leq t_n$ para $n\geq N$ , donde $N$ es fijo, entonces $\lim_{n\to\infty}\inf s_n\leq\lim_{n\to\infty}\inf t_n$

$\lim_{n\to\infty}\sup s_n\leq\lim_{n\to\infty}\sup t_n$

Aquí está mi intento de prueba:

Por definición: $\lim_{n\to\infty}t_n\leq\lim_{n\to\infty}\sup t_n$

Esto significa que existe un $M$ tal que, para cada $n\geq M$

$t_n\leq\lim_{n\to\infty}\sup t_n=t^*$

Si elegimos $n\geq\max\{N,M\}$ entonces tenemos

$t^*\geq t_n\geq s_n$

Por lo tanto, para cada subsecuencia $s_{n(k)}$ debemos tener (para cada $n(k)\geq\max\{N,M\}$ )

$t^*\geq s_{n(k)}$

Por lo tanto, el conjunto de todos los límites subsecuentes de $\{s_n \}$ está limitada por encima por $t^*$ lo que significa que $s^*$ no es mayor que $t^*$ mismo ( $t^*\geq s^*$ )

¿Es esto correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$\lim_n \sup x_n=\inf_n \sup\{x_k:k \geq n\}$$ $$\lim_n \inf x_n =\sup_n \inf \{x_k:k \geq n\}$$

Así, $$ \sup\{s_k:k \geq N\} \leq \sup\{t_k:k \geq N\}$$ así que $$\inf_n \sup\{x_k:k \geq n\} \leq \inf_n \sup\{t_k:k \geq n\}$$

Te dejo el otro caso.