Dejemos que $0 \leq \alpha < 1$ y sea f una función de $\mathbb{R} $ en $\mathbb{R}$ que satisface...

Question

Dejemos que $0 \leq \alpha < 1$ y sea f una función de $\mathbb{R} $ en $\mathbb{R}$ que satisface $$ | f(x) - f(y)| \leq \alpha|x-y| \; \forall x,y \in \mathbb{R}.$$ Dejemos que $a_{1} \in \mathbb{R}$ y que $a_{n+1} = f(a_{n})$ para $n=1,2....$ Demostrar que $\{a_{n}\} $ es una Secuencia de Cauchy.

He observado que los valores de la secuencia se acercan, pero no he podido demostrar que se acerquen arbitrariamente. También sé que si puedo demostrar que la secuencia está acotada y es monótona es convergente y por lo tanto una secuencia de Cauchy por un teorema.

Answer 1

$$|a_3-a_2|=|f(f(a_1))-f(a_1)|\leq\alpha|f(a_1)-a_1|$$

$$|a_4-a_3|=|f(f(a_2))-f(f(a_1))|\leq\alpha|f(a_2)-f(a_1)|=\alpha|a_3-a_2|\leq\alpha^2|f(a_1)-a_1|$$

¿Puedes ver el patrón? $\,|a_n-a_{n-1}|\leq\alpha^{n-2}|f(a_1)-a_1|\,$

Bueno, ahora:

1) Evaluar $\,|a_n-a_m|\,$

2) Utilizar el hecho de que $\,q^n\xrightarrow [n\to\infty]{}0\,$ siempre que $\,|q|<1\,$

Answer 2

En general, no se puede demostrar que la secuencia será monótona, ya que no es cierto. Una vez que se demuestra que la sucesión es Cauchy se deduce por la completitud de $\mathbb R$ que converge.

Aquí hay una pista para demostrar que la secuencia es Cauchy: para todo $n>m$ sostiene que $|a_n-a_m|\le |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}| + \cdots + |a_{m+1}-a_m|$ . Aplicar la definición de $a_k$ y la condición de $f$ para simplificar esta desigualdad y obtener una cota superior en el LHS.

Nota: Este es un paso para demostrar que $f$ tiene un único punto fijo. Este resultado, conocido como el teorema de los puntos fijos de Banach, se mantiene en el caso mucho más general de un auto-mapa contratante $f$ en un espacio métrico completo.

Answer 3

Una secuencia de Cauchy $\{a_n\}$ es aquella en la que para cualquier $\varepsilon>0$ existe $N$ de manera que cualquier $m,n>N$ satisfacer $|a_n - a_m| < \varepsilon$ .

Intentemos dar un límite a $|a_n-a_m|$ . Empieza por sustituir lo que sabemos: $|a_n-a_m| = |f(a_{n-1})-f(a_{m-1})| \le \alpha |a_{n-1}-a_{m-1}|$ . Además, asumiendo WLOG que $n>m$ , $|a_n-a_m| = |(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\ldots+(a_{m+1}-a_m)|$ que, por la desigualdad del triángulo, es como máximo $|a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\ldots+|a_{m+1}-a_m|$

A partir de aquí, el resultado se desprende de alguna inducción, el hecho de que $\alpha^n\to0$ y la finitud de la suma de las series geométricas.