Cálculo de r(t) con integrales de línea

Question

Tengo $F(x,y)$ que equivale a unos $a \mathrm{i}+b\mathrm{j}+c\mathrm{k}$ es que todos $r(t)$ ¿es?

¿Y si todos los $a,b,c$ no son en términos de $t$ ?

Nota: Mi $F(x,y)$ es un campo vectorial.

¿O viene de mi $C$ donde $C$ ¿es un rectángulo?

Ejemplo: Campo vectorial: $F(x,y) = x^2 y^2 \;\mathrm{i} + x \;\mathrm{j}$ . Sea $C$ sea un rectángulo con vértices $(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)$ , dejemos que $T$ denota el vector tangente unitario $C$ dirigida en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $C$

Quiero $T$ que sé que requiere $r(t)$

Answer 1

Puedes parametrizar las cuatro patas del rectángulo de la siguiente manera:

\begin{align} \vec{r}_1(t) =& (t, 0) & 0 \leq t \leq 4\\ \vec{r}_2(t) = & (4, t) & 0 \leq t \leq 4 \\ \vec{r}_3(t) = & (4 - t, 4) & 0 \leq t \leq 4 \\ \vec{r}_4(t) = & (0, 4 - t) & 0 \leq t \leq 4 \end{align}

Pero no olvides que tienes que introducir cada uno de esos valores en $\vec{F}$ :

$$ \int\limits_0^4 \vec{F}\left(\vec{r}_1\right)\circ d\vec{r}_1 + \int\limits_0^4 \vec{F}\left(\vec{r}_2\right)\circ d\vec{r}_2 + \int\limits_0^4 \vec{F}\left(\vec{r}_3\right)\circ d\vec{r}_3 + \int\limits_0^4 \vec{F}\left(\vec{r}_4\right)\circ d\vec{r}_4 $$

Se puede combinar esto en una sola integral, pero todavía hay que evaluar cada $\vec{F}\left(r_i\right)\circ d\vec{r}_i$ . Por ejemplo, aquí está $\vec{r}_1$ :

$$ x = t, y = 0\\ d\vec{r}_1 = \left(1, 0\right)dt \\ \vec{F}\left(\vec{r}_1\right) = \left(t^2\cdot 0^2, t\right) = \left(0, t\right) \\ \vec{F}\left(\vec{r}_1\right) \circ d\vec{r}_1 = 0 dt $$

Ahora tienes que hacer lo mismo con los otros tres. Probablemente puedes adivinar que se desvanecerá de nuevo por $\vec{r}_4$ pero probablemente no para los otros dos.