Acabo de empezar a aprender teoría de modelos por mi cuenta, y me preguntaba si hay algún ejemplo interesante de dos estructuras de un lenguaje L que no sean isomorfas, pero que sean elementalmente equivalentes (esto significa que cualquier sentencia L satisfecha por una de ellas lo es por la segunda).
Estoy utilizando la notaion del libro de David Marker "Model theory: an introduction".
En primer lugar, ¡me alegro de que lea mi libro! :)
Permítanme hacer un par de comentarios sobre la respuesta de Pete; es la primera vez que vengo y no veo cómo dejar comentarios.
Dos órdenes lineales densos sin punto final son elementalmente equivalentes. En particular $(Q,<)$ y $(R,<)$ son elementalmente equivalentes. Así que no hay una forma de primer orden para expresar la completitud de los reales.
Dos campos algebraicamente cerrados de la misma característica son elementalmente equivalentes. Así que los números algebraicos es elementalmente equivalente a los números complejos. Esto significa que se pueden demostrar cosas de primer orden sobre los números algebraicos utilizando el análisis complejo o los números complejos utilizando la Teoría de Galois o la contabilidad.
Del mismo modo, el campo de los reales es elementalmente equivalente a los números reales algebraicos o al campo de las series reales de Puiseux. Por ejemplo, se pueden utilizar las series de Puiseux para demostrar las propiedades asintóticas de las funciones semialgebraicas.
Por último, el comentario 5) de Pete sobre que los modelos infinitos de la teoría de campos finitos son elementalmente equivalentes no es del todo correcto. Esto sólo es cierto si el cierre algebraico relativo de los campos primos es isomorfo. Por ejemplo,
a) tomar una ultrapotencia de campos finitos $F_p$ donde el ultrafiltro que contiene $\{2,4,8,\ldots\}$ entonces el modelo resultante tiene característica $2,$ mientras que si el ultrafiltro contiene el conjunto de los primos, entonces el ultraproducto tiene la característica $0.$
b) si la ultrapotencia contiene el conjunto de primos congruentes con $1 \bmod 4,$ en el ultraproducto $-1$ es un cuadrado, mientras que si el ultraproducto contiene el conjunto de primos congruentes con $3 \mod 4$ entonces en el ultraproducto $-1$ no es un cuadrado..
Leyes, sí [1] Si no existieran esos ejemplos, no habría un tema llamado teoría de modelos y, por tanto, el libro de Marker no existiría.
Sin embargo, no hay muchos ejemplos explícitos que puedan darse, con pruebas, justo después de la definición de equivalencia elemental, un problema pedagógico con el que me encontré recientemente cuando impartí un breve curso de verano sobre teoría de modelos. Cuando di la definición por primera vez, lo único que se me ocurrió fue el siguiente argumento: para cualquier lenguaje $L$ la clase de $L$ -es una clase propia [cualquier conjunto no vacío puede convertirse en el "universo", o conjunto subyacente, de un $L$ -estructura] mientras que, como máximo, hay $2^{\max\{|L|,\aleph_0\}}$ diferentes teorías en la lengua $L$ El $L$ -estructuras hasta la equivalencia elemental deben formar un conjunto.
Pero si sólo quieres ejemplos sin pruebas, claro, ahí va:
1) En el lenguaje vacío, dos conjuntos son elementalmente equivalentes si ambos son infinitos o ambos finitos de la misma cardinalidad.
2) Dos órdenes lineales densos sin extremos son elementalmente equivalentes. [Lo mismo ocurre con los DLO con puntos finales, pero las dos clases de estructuras no son elementalmente equivalentes entre sí].
3) Dos campos algebraicamente cerrados de la misma característica son elementalmente equivalentes.
4) Dos campos reales cerrados cualesquiera son elementalmente equivalentes.
5) Dos modelos infinitos cualesquiera de la teoría de campos finitos son elementalmente equivalentes. (¡No! Ver la respuesta de Dave Marker).
En cada caso, existen tales estructuras de toda cardinalidad infinita, por lo que la clase de clases de isomorfismo de tales estructuras es una clase propia, no un conjunto.
[1]: "M-O-O-N, ¡eso deletrea teoría de modelos!"
Tome cualquier teoría completa $T$ que tiene dos modelos de de diferentes cardinalidades. Entonces los modelos son elementalmente equivalentes (ambos modelan $T$ ) pero no pueden ser isomorfos porque los isomorfismos preservan la cardinalidad.
Por el teorema de Lowenheim-Skolem, toda teoría con modelos infinitos tiene modelos de diferentes cardinalidades, por lo que realmente cualquier teoría completa con modelos infinitos funcionará para $T$ .
Nota personal: Siempre que enseño a los alumnos sobre la cardinalidad, señalo este tipo de aplicación. Dado que la cardinalidad se preserva mediante biyecciones, mostrar que dos objetos (grupos, anillos, modelos, etc.) tienen cardinalidades diferentes es una forma fácil de demostrar que no son isomorfos. Me parece una razón muy convincente para preocuparse por la cardinalidad fuera de la teoría de conjuntos.
Hay un número real de modelos contables de la aritmética de Peano, todos ellos elementalmente equivalentes al modelo habitual, pero todos ellos no isomorfos.
Todo ejemplo no estándar (no estándar significa no isomorfo al modelo habitual) se caracteriza por contener números "infinitamente grandes". Es decir, cada modelo M tiene en su interior una copia canónica de N = naturales habituales. Sin embargo, cada modelo no estándar M tiene un elemento p (de hecho, contablemente muchos elementos de este tipo) que el modelo cosas es más grande que todo en su copia de N.
Se crean mediante argumentos de compacidad estándar emparejados con el teorema descendente de Lowenheim-Skolem.
Denotemos PA como los axiomas de la Aritmética de Peano y pongamos T = Th(N), la teoría de N (es decir, el conjunto de todos los enunciados de primer orden que son verdaderos en la interpretación habitual.
Por último, añada una constante c al lenguaje y deje que phi_n sea la declaración c > n, o más apropiadamente, c > SSSS.....S(0), donde S es la función sucesora de PA y hay n S en la expresión.
Ahora, consideremos el conjunto de axiomas PA unión T unión phi_n para cada n. Por un argumento estándar de compacidad, este conjunto de axiomas es consistente, y así por el teorema de completitud de Godel, hay un modelo M de todos los axiomas simultáneamente. Por Lowenheim-Skolem descendente, podemos suponer que M es contable.
Ahora, pregúntate, ¿qué puede ser c? Pues bien, como M satisface phi_n para todo n, debemos tener c > n para cada número natural "habitual" en M, es decir, ¡c es infinito!
Lo que es realmente genial es que jugando con diferentes tipos de phi_n, uno puede encontrar modelos que tienen elementos que son divisibles por NINGÚN número primo "estándar". También se pueden encontrar modelos que tienen elementos que son simultáneamente divisibles por TODOS los números primos "estándar".
Echa un vistazo al artículo de Wikipedia sobre Campos reales cerrados . En resumen, son campos que son equivalentes de primer orden al campo de los números reales. Un ejemplo es el campo de los números reales que son raíces de polinomios con coeficientes racionales. Sin embargo, eso es prácticamente todo lo que sé sobre ellos.
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