Sea V el universo (la clase de todos los conjuntos), sea W(0)=V, sea W(1) la clase de todos los monotonos cuyo único elemento miembro es un conjunto miembro de W(0), y para n>0 sea W(n+1) la clase de todos los monotonos cuyo único elemento miembro es un conjunto miembro de W(n). Sea, para cada n>=0 S(n)=W(n+1)/W(n) la clase que es la diferencia de la clase W(n+1) y de la clase W(n). Nos interesa la proposición (S): "Para todo conjunto x, existe un único número natural n tal que x es un conjunto miembro de S(n)" . Pregunta 1: Sea ZFC nuestra teoría de conjuntos; ¿prueba ZFC (S)? Pregunta 2: Supongamos que la respuesta a la pregunta 1 es SÍ, y que ahora nuestra teoría de conjuntos sea ZF-(me refiero a ZF con la omisión del axioma de Regularidad (o Fundamento)); ¿prueba ZF- (S)? Pregunta 3: Supongamos que la respuesta a la pregunta 2 es NO; ¿prueba ZF- la equivalencia de (S) con el axioma de regularidad? Gérard Lang
Respuestas
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Supongo que querías escribir $S(n)=W(n)-W(n+1)$ en lugar de lo que has escrito, ya que inductivamente se puede demostrar $W(n+1)\subseteq W(n)$ . Con este entendimiento, todos los $S(n)$ son disjuntos, y la cuestión es si todo conjunto acaba cayendo, o si puede haber un conjunto en cada $W(n)$ .
En ZFC, no puede haber un conjunto $x$ en cada $W(n)$ ya que el cierre transitivo de tal $x$ consistiría en el conjunto que contiene como miembros el elemento único de $x$ el único elemento de ese conjunto, y así sucesivamente, y por lo tanto no tienen $\in$ -elemento mínimo, en contra del axioma de la fundación. Así que la respuesta a la pregunta 1 es Sí.
Mientras tanto, es relativamente consistente con ZF- que hay un conjunto $x$ que tiene $x=\{x\}$ Por ejemplo, tales conjuntos existen bajo el axioma de la anti-fundación. Tal conjunto está en cada $W(n)$ y por lo tanto no está en ningún $S(n)$ Por lo tanto, la respuesta a la pregunta 2 es No.
La pregunta 3 es bastante interesante, pero no sé la respuesta. Tal vez quiera añadir el axioma de las opciones dependientes DC, una versión suave de AC, ya que con este axioma una violación del axioma del fundamento dará lugar a una $\in$ -descendente $\omega$ -secuencia $x_0,x_1,\ldots$ con $x_{n+1}\in x_n$ y a partir de esa secuencia se puede esperar construir un conjunto que esté en cada $W(n)$ . Pero aún no veo cómo completar esta idea...
Como Joel ya ha respondido a las preguntas (1) y (2), sólo ofreceré una respuesta a la pregunta 3.
Esta es una versión revisada de mi respuesta; gracias a Joel Hamkins por señalar que mi construcción anterior no era del todo correcta.
Comience con un gráfico simple con 3 elementos { $a,b,c$ }, donde cada uno de los tres nodos tiene una arista hacia los otros dos. Así que en este modelo de 3 elementos de la "teoría de conjuntos", $a$ = { $b$ , $c$ }, $b$ = { $c$ , $a$ }, y $c$ = { $a$ , $b$ }.
Dado un dígrafo extensional $G=(X,E)$ con $X$ como conjunto de vértices y $E$ como el conjunto de aristas, definir el deficiencia set $D(G)$ de $G$ para ser la colección de subconjuntos $S$ de $X$ que no están "codificados" en $G$ es decir, no hay ningún elemento $a$ en $X$ tal que $S$ = { $x \in X : xEa$ }.
Ahora podemos definir por recursión un dígrafo $G_\alpha = (X_\alpha, E_\alpha)$ para cada ordinal $\alpha$ de la siguiente manera:
$G_0 = G$ ;
$G_{\alpha+1} = (X_{\alpha+1}, E_{\alpha+1})$ , donde $X_{\alpha+1} = X_{\alpha} \cup D(G_{\alpha})$ y $E_{\alpha+1} = E_{\alpha}$ junto con aristas de la forma $(x,X)$ , donde $x\in X_{\alpha}$ , $X \in D(G_{\alpha})$ y $x\in X$ .
Para el límite $\alpha$ , $G_\alpha$ es la unión de $G_\beta$ para $\beta<\alpha$ .
El modelo/digrama que nos interesa es la unión de todos los $G_\alpha$ , como $\alpha$ se extiende sobre los ordinales, y $G$ es el dígrafo de 3 elementos en { $a,b,c$ } mencionado anteriormente. Llamemos a este modelo $V(a,b,c)$ . Cumple con todos los axiomas de $ZF$ con la excepción de la Fundación.
$V(a,b,c)$ también satisface $S$ ya que cualquier cadena épsilon descendente infinita debe llegar finalmente a $a$ , $b$ o $c$ .
Esto demuestra que la pregunta 3 tiene una respuesta negativa.
Ya que { $a,b,c$ } son indiscernibles en $V(a,b,c)$ Sospecho que $DC$ falla en $V(a,b,c)$ pero una variación sobre este tema podría producir un modelo con suficiente asimetría para $DC$ para sostener también.
PS. Modelos de $ZF$ en los que falla la Fundación suelen construirse mediante el llamado método de permutación Bernays-Rieger (que no debe confundirse con el método de permutación Fraenkel-Mostowski de construcción de modelos de $ZF$ en el que falla el axioma de elección). El modelo construido anteriormente se basa en una idea diferente, explorada en detalle para los modelos de finito teoría de conjuntos en el siguiente documento:
A. Enayat, J. Schmerl y A. Visser, Modelos Omega de la teoría de conjuntos finitos , que aparecerá en Set theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies (editado por J. Kennedy y R. Kossak), Cambridge University Press, que aparecerá en octubre de 2011.
Se puede encontrar un preimpreso aquí .
