Quiero entender por qué la siguiente función, el mayor autovalor de una simétrica operador lineal, es continua y diferenciable Gâteaux.
\begin{equation*} \lambda(V)=\sup_{f \in \ell^2(I):\ \rVert f \lVert_2} \langle (A+V)f, f \rangle, \qquad V \in \ell^2(I) \end{ecuación*} donde
- $I$ es finita conjunto de índices (subconjunto de $\mathbb Z^d$, de hecho)
- $A: \ell^2(I) \rightarrow \ell^2(I)$ es simétrica operador lineal que es no negativa fuera de su diagonal, $-A$ es positiva definida
- $V \in \ell^2(I)$ multiplica como la diagonal de la matriz $\mathrm{diag}(V_1, \dots, V_n)$.
Me encontré con esta declaración en una teoría de la probabilidad prueba donde simplemente indica que esto se deduce fácilmente de la Perron-Frobenius teorema y básicos de álgebra lineal.
Así que debemos tener
(1) \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V_n)f,f\rangle =\sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(Af,f\rangle, \qquad \mathrm{\ where\ } V_n \rightarrow 0 \mathrm{\ pointwise} \end{ecuación*}
y la existencia de
(2)\begin{equation*} \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \lambda(V+hg)-\lambda(V) \right) =\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V+hg)f,f\rangle - \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V)f,f\rangle \right). \end{ecuación*}
En (1) el problema es que no es obvio para mí que se puede cambiar el límite y el supremum y no veo ninguna buena razón para que esto sea cierto. Para (2) simplemente estoy perplejo. El Perron-Frobenius teorema dice que el mayor autovalor de a $A+V$ es simple y que tiene un positivo eigenfunction. Pero no veo cómo concluir la existencia de la Gâteaux derivados a partir de ahí. Supongo que debe haber algún teorema de álgebra lineal, pero tan lejos de mi investigación no me da una respuesta.
Algo más de contexto sobre cómo me encontré con este problema
El operador $A$ es el generador de $\Delta$ de una caminata aleatoria simétrica $(X_t)_{t\geq0}$$\mathbb{Z}^d$, restringido a un número finito, conectado subconjunto:
\begin{equation*} \Delta_I f(x) = \sum_{y\in\mathbb{Z}^d:\ |x-y|=1} \omega_{xy} [f(y)-f(x)], \qquad x\in I,\ f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R},\ \mathrm{supp}(f)\subset I \end{ecuación*} donde $\omega_{xy}=\omega_{yx}\in(0,\infty)$ son simétricas pesos.
Entonces necesito $\Lambda(V):=\lambda(V)-\lambda(0)$ a ser diferenciable Gâteaux y continua con respecto a pointwise convergencia con el fin de aplicar una gran desviaciones a los principios de la función frecuencia $\Lambda$.