¿Cuando es una función del valor propio más grande continua y diferenciable?

Question

Quiero entender por qué la siguiente función, el mayor autovalor de una simétrica operador lineal, es continua y diferenciable Gâteaux.

\begin{equation*} \lambda(V)=\sup_{f \in \ell^2(I):\ \rVert f \lVert_2} \langle (A+V)f, f \rangle, \qquad V \in \ell^2(I) \end{ecuación*} donde

• $I$ es finita conjunto de índices (subconjunto de $\mathbb Z^d$, de hecho)
• $A: \ell^2(I) \rightarrow \ell^2(I)$ es simétrica operador lineal que es no negativa fuera de su diagonal, $-A$ es positiva definida
• $V \in \ell^2(I)$ multiplica como la diagonal de la matriz $\mathrm{diag}(V_1, \dots, V_n)$.

Me encontré con esta declaración en una teoría de la probabilidad prueba donde simplemente indica que esto se deduce fácilmente de la Perron-Frobenius teorema y básicos de álgebra lineal.

Así que debemos tener

(1) \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V_n)f,f\rangle =\sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(Af,f\rangle, \qquad \mathrm{\ where\ } V_n \rightarrow 0 \mathrm{\ pointwise} \end{ecuación*}

y la existencia de

(2)\begin{equation*} \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \lambda(V+hg)-\lambda(V) \right) =\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V+hg)f,f\rangle - \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V)f,f\rangle \right). \end{ecuación*}

En (1) el problema es que no es obvio para mí que se puede cambiar el límite y el supremum y no veo ninguna buena razón para que esto sea cierto. Para (2) simplemente estoy perplejo. El Perron-Frobenius teorema dice que el mayor autovalor de a $A+V$ es simple y que tiene un positivo eigenfunction. Pero no veo cómo concluir la existencia de la Gâteaux derivados a partir de ahí. Supongo que debe haber algún teorema de álgebra lineal, pero tan lejos de mi investigación no me da una respuesta.

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Algo más de contexto sobre cómo me encontré con este problema

El operador $A$ es el generador de $\Delta$ de una caminata aleatoria simétrica $(X_t)_{t\geq0}$$\mathbb{Z}^d$, restringido a un número finito, conectado subconjunto:

\begin{equation*} \Delta_I f(x) = \sum_{y\in\mathbb{Z}^d:\ |x-y|=1} \omega_{xy} [f(y)-f(x)], \qquad x\in I,\ f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R},\ \mathrm{supp}(f)\subset I \end{ecuación*} donde $\omega_{xy}=\omega_{yx}\in(0,\infty)$ son simétricas pesos.

Entonces necesito $\Lambda(V):=\lambda(V)-\lambda(0)$ a ser diferenciable Gâteaux y continua con respecto a pointwise convergencia con el fin de aplicar una gran desviaciones a los principios de la función frecuencia $\Lambda$.

Answer 1

La proposición. Deje $P(x,t)=\sum_{i=0}^na_i(t)x^i$ cuando la $(a_i(t))$$C^k$. Suponemos que $P(x_0,t_0)=0$ donde $x_0$ es una raíz simple de $P(x,t_0)=0$. Luego, en un barrio de $(x_0,t_0)$, $\phi\in C^k$ s.t. $x_0=\phi(t_0),P(\phi(t),t)=0$.

Prueba. Desde $x_0$ es una raíz simple, $\dfrac{\partial P}{\partial x}(x_0,t_0)\not= 0$. De acuerdo con el teorema de la función implícita, hemos terminado.

Aplicación. Deje $A(t)$ ser un no-negativo irreductible de la matriz que $C^k$ depende de $t$. A continuación, $\rho(A(t))$ es un simple positivo autovalor de a $A(t)$ y, en consecuencia, es un $C^k$ función de $t$ (put $P(x,t)=\det(A(t)-xI_n)$).

Ahora, cuando los autovalores de a $A(t)$ no son simples, es más complicado. Se puede probar que hay funciones CONTINUAS $(x_i(t))_{i\leq n}$ (eventualmente complejo).t. para cada $t$, $spectrum(A(t))=(x_i(t))_{i\leq n}$. Por lo tanto, si $A(t)$ es simétrica, entonces el mayor autovalor de a$A(t)$$\sup_ix_i(t)$, que es claramente una función continua de la $t$.

EDIT. Responder a @ Amarus . Su pregunta es, esencialmente, acerca de la continuidad (o diff.) de las raíces de un polinomio. La cuestión de la continuidad es tratado aquí:

http://www.ams.org/journals/proc/1965-016-01/S0002-9939-1965-0171902-8/S0002-9939-1965-0171902-8.pdf

Tenga en cuenta que todas las pruebas de la anterior resultado use el teorema de Rouché.

No es un resultado intermedio: si el polinomio tiene real $C^{\infty}$ coeficientes con sólo las raíces reales (hiperbólica polinomio), entonces cada raíz es de Lipschitz (debido a Bronshtein) -uno puede suavizar la condición de $C^{\infty}$-

Ten cuidado. Los vectores propios no necesariamente tienen que ser escrita como funciones continuas.