12 votos

¿Cuando es una función del valor propio más grande continua y diferenciable?

Quiero entender por qué la siguiente función, el mayor autovalor de una simétrica operador lineal, es continua y diferenciable Gâteaux.

\begin{equation*} \lambda(V)=\sup_{f \in \ell^2(I):\ \rVert f \lVert_2} \langle (A+V)f, f \rangle, \qquad V \in \ell^2(I) \end{ecuación*} donde

  • $I$ es finita conjunto de índices (subconjunto de $\mathbb Z^d$, de hecho)
  • $A: \ell^2(I) \rightarrow \ell^2(I)$ es simétrica operador lineal que es no negativa fuera de su diagonal, $-A$ es positiva definida
  • $V \in \ell^2(I)$ multiplica como la diagonal de la matriz $\mathrm{diag}(V_1, \dots, V_n)$.

Me encontré con esta declaración en una teoría de la probabilidad prueba donde simplemente indica que esto se deduce fácilmente de la Perron-Frobenius teorema y básicos de álgebra lineal.

Así que debemos tener

(1) \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V_n)f,f\rangle =\sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(Af,f\rangle, \qquad \mathrm{\ where\ } V_n \rightarrow 0 \mathrm{\ pointwise} \end{ecuación*}

y la existencia de

(2)\begin{equation*} \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \lambda(V+hg)-\lambda(V) \right) =\lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{t} \left( \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V+hg)f,f\rangle - \sup_{\lVert f \rVert_2=1} \langle(A+V)f,f\rangle \right). \end{ecuación*}

En (1) el problema es que no es obvio para mí que se puede cambiar el límite y el supremum y no veo ninguna buena razón para que esto sea cierto. Para (2) simplemente estoy perplejo. El Perron-Frobenius teorema dice que el mayor autovalor de a $A+V$ es simple y que tiene un positivo eigenfunction. Pero no veo cómo concluir la existencia de la Gâteaux derivados a partir de ahí. Supongo que debe haber algún teorema de álgebra lineal, pero tan lejos de mi investigación no me da una respuesta.


Algo más de contexto sobre cómo me encontré con este problema

El operador $A$ es el generador de $\Delta$ de una caminata aleatoria simétrica $(X_t)_{t\geq0}$$\mathbb{Z}^d$, restringido a un número finito, conectado subconjunto:

\begin{equation*} \Delta_I f(x) = \sum_{y\in\mathbb{Z}^d:\ |x-y|=1} \omega_{xy} [f(y)-f(x)], \qquad x\in I,\ f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R},\ \mathrm{supp}(f)\subset I \end{ecuación*} donde $\omega_{xy}=\omega_{yx}\in(0,\infty)$ son simétricas pesos.

Entonces necesito $\Lambda(V):=\lambda(V)-\lambda(0)$ a ser diferenciable Gâteaux y continua con respecto a pointwise convergencia con el fin de aplicar una gran desviaciones a los principios de la función frecuencia $\Lambda$.

3voto

Spencer Puntos 48

La proposición. Deje $P(x,t)=\sum_{i=0}^na_i(t)x^i$ cuando la $(a_i(t))$$C^k$. Suponemos que $P(x_0,t_0)=0$ donde $x_0$ es una raíz simple de $P(x,t_0)=0$. Luego, en un barrio de $(x_0,t_0)$, $\phi\in C^k$ s.t. $x_0=\phi(t_0),P(\phi(t),t)=0$.

Prueba. Desde $x_0$ es una raíz simple, $\dfrac{\partial P}{\partial x}(x_0,t_0)\not= 0$. De acuerdo con el teorema de la función implícita, hemos terminado.

Aplicación. Deje $A(t)$ ser un no-negativo irreductible de la matriz que $C^k$ depende de $t$. A continuación, $\rho(A(t))$ es un simple positivo autovalor de a $A(t)$ y, en consecuencia, es un $C^k$ función de $t$ (put $P(x,t)=\det(A(t)-xI_n)$).

Ahora, cuando los autovalores de a $A(t)$ no son simples, es más complicado. Se puede probar que hay funciones CONTINUAS $(x_i(t))_{i\leq n}$ (eventualmente complejo).t. para cada $t$, $spectrum(A(t))=(x_i(t))_{i\leq n}$. Por lo tanto, si $A(t)$ es simétrica, entonces el mayor autovalor de a$A(t)$$\sup_ix_i(t)$, que es claramente una función continua de la $t$.

EDIT. Responder a @ Amarus . Su pregunta es, esencialmente, acerca de la continuidad (o diff.) de las raíces de un polinomio. La cuestión de la continuidad es tratado aquí:

http://www.ams.org/journals/proc/1965-016-01/S0002-9939-1965-0171902-8/S0002-9939-1965-0171902-8.pdf

Tenga en cuenta que todas las pruebas de la anterior resultado use el teorema de Rouché.

No es un resultado intermedio: si el polinomio tiene real $C^{\infty}$ coeficientes con sólo las raíces reales (hiperbólica polinomio), entonces cada raíz es de Lipschitz (debido a Bronshtein) -uno puede suavizar la condición de $C^{\infty}$-

Ten cuidado. Los vectores propios no necesariamente tienen que ser escrita como funciones continuas.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X