Norma en el espacio cotangente y desigualdad de Hölder en las variedades riemannianas

Question

Dejemos que $(\mathcal{M}, g)$ sea una Riemanniana $n$ -manifiesto. Sabemos que

$$ \Vert v \Vert_g := \langle v, v \rangle_g^\frac{1}{2} $$

define una norma en el espacio tangente $T_p \mathcal{M}$ . ¿Podemos derivar la norma $\Vert \cdot \Vert_*$ de $T_p^* \mathcal{M}$ de $\Vert \cdot \Vert_g$ ? ¿Podría simplemente definir $\Vert \omega \Vert_* := \Vert \omega^\sharp \Vert_g$ ¿funciona?

En particular, me interesa saber si la desigualdad de Hölder se cumple en $T_p \mathcal{M}$ es decir

$$ \sum_{k=1}^n \vert v_k w_k \vert \leq \Vert v \Vert_g \Vert w \Vert_* \, , $$

para cualquier $v, w \in T_p \mathcal{M}$ . (Aunque cuando $\Vert \cdot \Vert_*$ se define como $T_p^* \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ (Eso no tiene sentido).

¿Existe alguna otra definición de norma dual en el espacio tangente de la variedad de Riemann, de forma que se cumpla la desigualdad de Hölder?

Answer 1

No sé qué $\sharp$ significa, pero cualquier producto escalar $g(\cdot, \cdot) $ en un espacio vectorial de dimensión finita $X$ induce un isomorfismo natural de $X$ a $X^*$ por el mapeo $v$ a $\omega_v$ dejando $\omega_v(w):= g(v, w)$ .

Se puede pedir que sea una isometría, que induce una norma y un producto escalar sobre $X^*$ de forma natural (así $||\omega_v||= ||v||$ )

No es difícil ver que entonces $g^*(\omega_v,\omega_w) = g(v,w)$ .

Estas definiciones se trasladan fácilmente de forma natural y continua a la construcción del haz tangente.

(Si eso coincide con la inversa de su $\sharp$ mapa entonces su pregunta correspondiente se responde con un sí :-)

No estoy seguro de qué tipo de desigualdad de Hölder quieres, pero claramente $$||\omega_v(w)||= ||g(v,w)||\le ||v||\,||w|| = ||\omega_v||\,||w||$$

por la desigualdad de Cauchy Schwartz para $g$ y utilizando el hecho de que el mapa en cuestión es una isometría.