Si $X$ es un espacio de Banach que admite una base de Schauder, entonces podemos elegir un conjunto $\{e_1,e_2,e_3 \cdots \}$ como la base tal que existe un funcional lineal acotado $f_i$ tal que $f_i(e_j)=\delta_{ij}$ ?
Respuesta
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Sí, se puede; y de hecho es más cierto.
Para cualquier base $(x_n)$ de un espacio de Banach $X$ los coeficientes funcionales $(x_n^*)$ definido por $x_n^*\bigl(\sum\limits_{i=1}^\infty\alpha_i x_i\bigr)=\alpha_n$ son automáticamente continuos. Tenga en cuenta que $x_n^*(x_m)=\delta_{nm}$ . Véase, por ejemplo, Joseph Diestel, Secuencias y series en espacios de Banach , pág. 33. (Se puede decir más: la secuencia $(x_n^*)$ es una base de su tramo lineal cerrado).
La observación anterior se deduce también del hecho de que para una base $(x_n)$ de $X$ los mapas de proyección $P_n:X\rightarrow X$ definido por $P_n\bigl(\sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i x_i\bigr)=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i$ son operadores lineales acotados y $\sup_n\Vert P_n\Vert<\infty$ . Para ver por qué la observación se desprende de este hecho, obsérvese que $x_n^*=P_n-P_{n-1}$ . La cantidad $\sup_n\Vert P_n\Vert$ se llama constante de base de $(x_n)$ .
Un esbozo de una prueba de este hecho básico relativo a los mapas de proyección para bases de espacios de Banach es:
Considere $X$ como un espacio de secuencias, identificando $x=\sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i x_i$ con su representación de base $(\alpha_i)$ equipado con la norma $\vert\Vert x\Vert\vert = \sup_n\Vert\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i \Vert$ . Demuestre que se trata efectivamente de una norma bien definida en $X$ y que $\Vert x\Vert_X\le \vert\Vert x\Vert\vert$ para cada $x\in X$ . Entonces demuestre que $X$ es completa bajo esta norma. El Teorema del Mapeo Abierto mostrará que las normas $\Vert\cdot\Vert$ y $\vert\Vert\cdot\Vert\vert$ son equivalentes.
Véase Diestel, por ejemplo, para más detalles.
