Encontrar el determinante, la inversa de una matriz y bajo qué condición es positiva

Question

La matriz es $B=[(1-\rho)I_n+\rho\textbf{1}\textbf{1}']$ donde $\textbf{1}=[1\;\cdots\;1]'$ , un $n\times 1$ vector con cada entrada $1$ . Entonces, ¿cuál es el determinante, la inversa de esta matriz y bajo qué condición es positiva?

(Sólo sé que la matriz es igual a $\begin{bmatrix} 1 &\rho & \cdots & \rho\\ \rho& 1 &\cdots & \rho\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ \rho & \rho & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ )

Answer 1

Dejemos que $$ \mathbf{u}_1 := \frac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\cdots,1)^T, $$ y completarla con una base ortonormal $\{\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n\}$ de $\mathbb{R}^n$ . Entonces $$ B = (1-\rho)I_n + \rho \mathbf{1} \mathbf{1}^T\\ = (1-\rho)\sum_{k=1}^n\mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T + n\rho\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_1^T\\ = (1+(n-1)\rho) \mathbf{u}_1 \mathbf{u}_1^T + \sum_{k=2}^n (1-\rho) \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T, $$ para que $B$ es diagonalizable ortogonalmente con valores propios distintos $1+(n-1)\rho$ con multiplicidad $1$ y $1-\rho$ con multiplicidad $n-1$ o $B = 0$ . En el caso no trivial, entonces, $$ \det(B) = (1+(n-1)\rho)(1-\rho)^{n-1}, $$ y $B$ es positivo si y sólo si $1+(n-1)\rho > 0$ y $1-\rho > 0$ si y sólo si $$ -\frac{1}{n-1} < \rho < 1. $$ Por último, si $B$ es invertible, es decir, si $1+(n-1)\rho \neq 0$ y $1-\rho \neq 0$ , o de forma equivalente, $$ \rho \neq 1, \quad \rho \neq -\frac{1}{n-1}, $$ entonces $$ B^{-1} = \frac{1}{1+(n-1)\rho}\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T + \sum_{k=2}^n \frac{1}{1-\rho} \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T\\ = \left(\frac{1}{1+(n-1)\rho} - \frac{1}{1-\rho} \right)\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_1^T + \frac{1}{1-\rho}\sum_{k=1}^n \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T\\ = \frac{1}{1-\rho} I_n - \frac{n}{(1-\rho)(1-(n-1)\rho)}\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T\\ = \frac{1}{1-\rho} I_n - \frac{1}{(1-\rho)(1-(n-1)\rho)} \mathbf{1}\mathbf{1}^T. $$

Answer 2

Si restamos la primera fila de todas las filas restantes, obtenemos la matriz $$\begin{bmatrix} 1 &\rho & \rho & \cdots & \rho\\ \rho-1& 1-\rho & 0 & \cdots & 0\\ \rho-1 & 0 & 1-\rho & \cdots & 0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ \rho-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-\rho \end{bmatrix}$$ que tiene el mismo determinante ( enlace ).

Si calculamos el determinante obtenemos: $$(1-\rho)^{n-1}-(n-1) \times \rho(\rho-1)(1-\rho)^{n-2}$$ que se refiere a las diagonales marcadas con $(*)$ abajo: $$\begin{bmatrix} 1 (*) & \rho & \rho & \cdots & \rho\\ \rho-1 & 1-\rho (*) & 0 & \cdots & 0\\ \rho-1 & 0 & 1-\rho (*) & \cdots & 0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ \rho-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-\rho (*) \end{bmatrix}$$ para la primera legislatura $$\begin{bmatrix} 1 & \rho (*)& \rho & \cdots & \rho\\ \rho-1 (*) & 1-\rho & 0 & \cdots & 0\\ \rho-1 & 0 & 1-\rho (*) & \cdots & 0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ \rho-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-\rho (*) \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho (*)& \cdots & \rho\\ \rho-1 & 1-\rho (*) & 0 & \cdots & 0\\ \rho-1 (*) & 0 & 1-\rho & \cdots & 0\\ \cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ \rho-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-\rho (*) \end{bmatrix}, \qquad \text{etc.}$$ para el segundo término (observando que hay $n-1$ formas en que se puede encontrar este tipo de diagonal).

La ecuación anterior se simplifica en $$\det=(1-(n-1)\rho)(1-\rho)^{n-1}.$$