Mostrar $\cos(x^2)/(1+ x^2)$ es uniformemente continua en $\Bbb R$ .

Question

Ahora bien, así es como he procedido.

Por definición, una función $f: E \Bbb R$ es uniformemente continua si para cada $ > 0$ Hay un $ > 0$ tal que $|x-a| < $ y $x,a$ son elementos de $E$ implica $|f(x) - f(a)| < .$

Entonces supongamos que $x, a$ son elementos de $\Bbb R. $ Ahora \begin{align} |f(x) - f(a)| &= \left|\frac{\cos(x^2)}{1 + x^2} - \frac{\cos(a^2)}{1 + a^2}\right| \\&= \left| \frac{\cos(x^2)(1+a^2 )- \cos(a^2)(1+x^2)}{(1 + x^2)(1 + a^2)}\right| \\& \left| \frac{a^2 - x^2}{(1 + x^2)(1 + a^2)}\right| \end{align}

¿se puede escribir el último paso? Si no es así, por favor ayúdame a resolver la suma.

Answer 1

Sugerencia: utilice la desigualdad triangular y $2|x| < 1 + x^2$ para conseguir $|f'(c)| < \dfrac{2}{1+c^2} < 2 \Rightarrow |f(x) - f(a)| < 2|x-a|$ y concluir.