Sea G un grupo finito con p el menor divisor primo de $| G|.$ Entonces todo subgrupo H de índice p en G es normal en G .

Question

Sea G un grupo finito y sea p el menor divisor primo de $| G|.$ Entonces todo subgrupo H de índice p en G es normal en G .

(En https://people.math.osu.edu/all.3/algebra/group%20theory/group1.pdf Otoño 2004, problema 4)

Dicen que si el núcleo de $\varphi$ es trivial entonces $H$ es normal en $G$ pero no puedo entender por qué eso es cierto

Answer 1

Tenga en cuenta que $\ker \phi \not = G$ , ya que de lo contrario sabemos que $G = \ker \phi \le H$ lo que significa que $G = H$ .

Supongo que eso es lo que piensa el autor cuando dice que el núcleo es no trivial, aunque para ser justos en mi opinión cuando alguien dice no trivial entiendo que $\ker \phi \not = \{e\}$ . Si quieres decir que $\ker \phi \not = G$ se suele decir que el núcleo es propio (un subgrupo propio de $G$ ). Mi mejor opinión es que este es el pensamiento del autor y que simplemente utilizó un lenguaje "diferente".

El hecho $\ker \phi \not = G$ es importante porque significa que $[G:\ker \phi] \not = 1$ . Esto se utiliza para conlcuir que $[G:\ker \phi] = p$ ya que, de lo contrario, se observa que $1$ es un número que divide el orden de ambos $G$ y $S_p$ .