Forma general del Teorema de Rouche

Question

Dejemos que $\Omega$ sea el interior de un conjunto compacto $K$ en el plano. Supongamos que $f$ y $g$ son continuas en $K$ y holomorfo en $\Omega$ y $|f(z)-g(z)|<|f(z)|$ para todos $z\in K-\Omega$ . Entonces $f$ y $g$ tienen el mismo número de ceros en $\Omega$ .

PD: Este problema es del libro de Rudin en el capítulo 10. Por lo tanto, sólo conozco algunos teoremas básicos sobre funciones holomorfas (no sé nada sobre funciones armónicas o mapeo conforme, que aprenderé en capítulos posteriores)

Algo que probé:

Como no sé cómo resolver este problema con un conjunto compacto arbitrario $K$ , simplemente asumo que $K$ es un disco cerrado $\bar{D}(0;R)$ para simplificar el problema. Así que $\Omega=D(0;R)$ (En realidad, aunque pudiera resolver el problema en este caso sencillo, no sé cómo resolver el problema en el caso general. Simplemente hago el problema más simple y veo a dónde me lleva este caso específico)

Claramente, $f$ no tiene ceros en $\partial\bar{D}$ . Sea $N$ denotan el número de ceros de $f$ en $D(0;R)$ y $\gamma$ sea el círculo con centro en $0$ y el radio $R$ . Si pudiera demostrar que $$N=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}dz$$ (que es diferente del clásico Principio de Argumentación que aprendí), pude resolver el caso más sencillo.

Desde $f$ es holomorfo en $D(0;R)$ y no idéntico a cero en $D(0;R)$ el número de ceros de $f$ en $D(0;R)$ es finito. Sea $r=sup\lbrace|a|:f(a)=0, a\in D(0;R)\rbrace$ . Por lo tanto, todos los ceros de $f$ yacen en el disco abierto $D(0;r)$ . Escoge $\rho$ tal que $\rho$ tal que $R>\rho>r$ . Definir $\gamma_\rho(\theta)=\rho e^{i\theta}$ en $[0,2\pi]$ Ahora, se puede utilizar el clásico Principio de Argumentación. Por lo tanto, $$N(\rho)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_\rho}\frac{f'(z)}{f(z)}dz$$ o $$N(\rho)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f'(\rho e^{i\theta})}{f(\rho e^{i\theta})}\rho e^{i\theta}d\theta$$ Ahora, dejemos que $\rho\to R$ . Por lo tanto, $\lim_{\rho\to R}N(\rho)=N$ . Sin embargo, no puedo demostrar que $f'$ es continua en $\bar{D}(0;R)$ Aunque $f'$ es realmente continua en $D(0;R)$ . Por lo tanto, no he podido resolver el problema.

PS:Esta pregunta ya ha sido publicada en math.stackexchange.com/q/65298 También.

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

En realidad, este problema es del capítulo 13 (al menos en mi edición, véase la página 266). He aquí un esquema. Por las condiciones $f$ y $g$ no tienen ceros en $K-\Omega$ . En particular, los ceros no se acumulan en $\partial\Omega$ por lo que sólo hay un número finito de ceros en $\Omega$ por el principio de unicidad (Corolario en la p.210). Ahora dejemos que $M$ sea un componente conexo de $\Omega$ basta con demostrar que $f$ y $g$ tienen el mismo número de ceros en $M$ . Por el teorema de la página 262, $M$ es homeomorfo al disco unitario. En consecuencia, para cualquier $\epsilon>0$ existe una curva simple cerrada rectificable $\gamma$ en $M$ tal que $\gamma$ es el límite de un subconjunto abierto simplemente conectado de $M$ que contiene todos los ceros de $f$ y $g$ en $M$ y la distancia de $\gamma$ de $\partial M$ es menor que $\epsilon$ . Si $\epsilon$ es suficientemente pequeño, entonces $|f-g|<|f|$ en $\gamma$ por lo que por el teorema de Rouché $f$ y $g$ tienen el mismo número de ceros en $M$ .