Dejemos que $\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(\mathbb{C})$ una familia de funciones holomorfas tal que para cada $z \in \mathbb{C}$ el conjunto $\{f(z): f \in \mathcal{F}\}$ es contable, mi pregunta es si $\mathcal{F}$ es necesario countble.
No tengo ni idea de por dónde empezar, así que cualquier consejo o ayuda se agradecería mucho.
Al parecer, la pregunta que hace tiene nombre y apellidos: se llama El problema de Wetzel . En este sentido, podemos mencionar la Página de Wikipedia que contiene una breve reseña histórica del problema, así como el artículo de Erdös que demuestra lo siguiente:
La conclusión del problema (es decir, sólo hay un número contable de funciones analíticas en la familia) es equivalente a la hipótesis del continuo no que se mantiene.
Por lo tanto, no hay una respuesta sencilla a su pregunta. El artículo de Erdös contiene una hermosa demostración de dicha equivalencia, que recomiendo que cualquiera que le gusten las matemáticas compruebe.
Por otro lado, si se sustituye "contable" por "finito" en todas partes, hay una respuesta sencilla: sí, la familia debe ser finita, dado que $\{f(z) \colon f \in \mathcal{F}\}$ es finito para todo $z \in \mathbb{C}.$ La prueba, que es bastante sencilla, es la siguiente:
Supongamos que existe una secuencia infinita $\{f_i\}_{i \ge 1} \subset \mathcal{F}$ de funciones analíticas distintas por pares. Sea lo primero $B_{i,j} = \{z \in \mathbb{C} \colon f_i(z) = f_j(z)\}.$ Como todas las funciones son analíticas y distintas entre sí, el conjunto $B_{i,j}$ es como máximo contable. Por lo tanto, el conjunto
$$B = \cup_{i,j \ge 1, i \neq j} B_{i,j}$$
También es contable. Ahora dejemos que $A_N = \{z \in \mathbb{C} \colon |\{f(z) \colon f \in \mathcal{F}\}| = N\}.$ Como $\cup_{N \ge 1} A_N = \mathbb{C},$ hay $M \in \mathbb{N}$ tal que $A_M$ es incontable.
Por otro lado, como $A_M$ es incontable y $B$ es contable, hay al menos un punto $z_0 \in A_M \cap B^{c}.$ Pero esto es una contradicción, ya que $z_0 \in B^{c}$ implica que $f_i(z_0) \neq f_j(z_0), \forall i\neq j,$ y por lo tanto $z_0 \not \in A_M.$
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