Una de las propiedades notables de la geometría de los agujeros negros de Kerr es que las ecuaciones de campo escalar se separan y son exactamente resolubles (reducibles a cuadratura), aunque ingenuamente no tiene suficientes simetrías para justificar esta afirmación (no hay un conjunto máximo de vectores de Killing, pero aparentemente hay un tensor covariantemente constante de mayor rango que hace el trabajo). Una vez escuché una vaga afirmación en el sentido de que esta simplicidad está de alguna manera relacionada, o más manifiesta, con el lenguaje de los twistors en esta geometría, o relacionada con las propiedades de la ecuación de Dirac sin masa en este fondo. Me pregunto si alguien puede ayudarme a precisar la afirmación, o proporcionarme un punto de entrada a la literatura.
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La relación con los torcedores se obtiene sacando otra raíz cuadrada de la respuesta de Urs.
Si $(M^n,g)$ es un $n$ -con un haz de espinores $S$ tenemos un operador natural conformemente invariante $P: \Omega^1(S) \to C^\infty(S)$ , donde $C^\infty(S)$ son las secciones lisas de $S$ (es decir, campos de espinores suaves) y $\Omega^1(S)$ son las formas 1 suaves en $M$ con valores en $S$ . El operador $P$ es la parte "sin gamma" de la conexión de espín. En otras palabras, si $X$ es un campo vectorial cualquiera y $\psi$ cualquier campo espinor, se tiene $$ P_X \psi = \nabla_X \psi + \frac1n X \cdot D \psi~, $$ donde $D$ es el operador de Dirac y $X \cdot$ significa producto Clifford. En relación con una base y utilizando las convenciones $\Gamma_a \Gamma_b + \Gamma_b \Gamma_a = - 2 \eta_{ab} \mathbf{1}$ , uno tiene $$ P_a = \nabla_a + \frac1n \Gamma_a D~. $$ La condición de ausencia de gamma es precisamente $\Gamma^aP_a = 0$ .
Ahora un campo espinor $\psi$ satisfaciendo $P_a \psi = 0$ se llama twistor o un conformal Killing campo espinor. $P$ es un operador conformemente invariante, por lo que los twistors en dos variedades de espín conformes se corresponden.
Si $\psi_1$ y $\psi_2$ son espinores de torsión (no necesariamente distintos) su producto tensorial $\psi_1 \otimes \psi_2$ es una combinación lineal de diferenciales $p$ -forma $$ \psi_1 \otimes \psi_2 = \sum_p \omega_p $$ donde dependiendo de la firma/dimensión del espaciotiempo sólo algunos $p$ puede aparecer.
La cuestión es que el $\omega_p$ son formas de Killing (especiales) conformes, que pueden elevarse al cuadrado para obtener los tensores de Killing-Yano en la respuesta de Urs.
Quizá una buena referencia sea el apartado 6.7 del volumen II de Espinores y espaciotiempo de Penrose y Rindler. Hay una sección precisamente sobre el agujero negro de Kerr.
Ese tensor de mayor rango que tienes en mente se llama (conforme) Tensor Killing-Yano .
Se trata de tensores (formas diferenciales) sesgados-simétricos que son covariantes constantes en un sentido adecuado y que sirven como "raíces cuadradas" de Tensor de muerte s en analogía directa con la forma en que un vielbein sirve de raíz cuadrada para una métrica (que es el tensor de matar de rango 2 canónico).
Para cada tensor de Killing en un espaciotiempo la partícula relativista que se propaga en esa colector tiene una cantidad extra conservada. (Para la propia métrica es su hamiltoniano). Para cada refinamiento de un tensor de Killing al cuadrado de un tensor de Killing-Yano, también el partícula giratoria o superpartícula tiene una cantidad conservada extra impar (en el caso de la métrica es una supersimetría extra de la línea del mundo, un operador extra de Dirac).
Los análogos de todo esto son válidos para el caso de los tensores "conformes" de Killing-Yano. El espacio-tiempo de Kerr es famoso por admitirlos.
Véase, por ejemplo
Jacek Jezierski, Maciej Łukasik, Tensor de Yano-Killing conforme para la métrica de Kerr y cantidades conservadas ( arXiv:gr-qc/0510058 ),
donde se menciona brevemente la relación con la geometría twistor en la página 4, junto con un montón de referencias.
