Fracción continua de una raíz cuadrada

Question

Si quiero encontrar la fracción continua de $\sqrt{n}$ ¿cómo sé que número utilizar para $a_0$? ¿Hay una manera de hacerlo sin utilizar una calculadora o algo como eso? ¿Cuál es el algoritmo general para computarlo? He intentado leer el artículo de wiki pero estaba abrumado y perdido. Intenté buscarte pero no pudo encontrar un sitio web que realmente explica esta pregunta.

Si alguien tiene un buen sitio que responde a estas preguntas o bien, por favor hágamelo saber. ¡ Gracias!

Answer 1

Vamos a hacer un ejemplo. Vamos a encontrar la continuación de la fracción de $\def\sf{\sqrt 5}\sf$. $\sf\approx 2.23$ o algo, y $a_0$ es la parte entera de esto, que es de 2.

Luego restamos $a_0$ $\sf$ y tomar el recíproco. Es decir, calculamos ${1\over \sf-2}$. Si estás usando una calculadora, esto viene a 4.23 o así. A continuación, $a_1$ es la parte entera de esto, que es de 4. Así: $$\sf=2+\cfrac{1}{4+\cfrac1{\vdots}}$$

Donde no hemos descubierto la $\vdots$ parte todavía. Para conseguir eso, nos tomamos nuestro $4.23$, restar $a_1$, y tomar el recíproco; es decir, calculamos ${1\over 4.23 - 4} \approx 4.23$. Este es el mismo que teníamos antes, por lo $a_2$ es de 4 de nuevo, y continuar de la misma manera, $a_3 = a_4 = \ldots = 4$: $$\sf=2+\cfrac{1}{4+\cfrac1{4+\cfrac1{4+\cfrac1\vdots}}}$$

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Este procedimiento funciona para cualquier número que sea, pero para $\sf$ podemos usar un poco algebraica de la inteligencia para ver que las patas realmente repita. Cuando llegamos a la ${1\over \sf-2}$ etapa, se aplica el álgebra para convertir este a ${1\over \sf-2}\cdot{\sf+2\over\sf+2} = \sf+2$. Así que podríamos decir que: $$\begin{align} \sf & = 2 + \cfrac 1{2+\sf}\\ 2 + \sf & = 4 + \cfrac 1{2+\sf}. \end{align}$$

Si sustituimos el lado derecho de la última ecuación la expresión en sí misma en lugar de $ 2+ \sf$, obtenemos:

$$ \begin{align} 2+ \sf & = 4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{2+\sf}} \\ & = 4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{2+\sf}}} \\ & = 4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{4 + \cfrac 1{2+\sf}}}} \\ & = \cdots \end{align} $$

y es evidente que las patas se repita siempre.

Answer 2

Confirmar la identidad algebraica: $$\sqrt n=a+\frac{n-a^2}{a+\sqrt n}$ $ eligió entonces cualquier valor de 'a' que desee y sólo tener el pluging en $\sqrt n$

Answer 3

$a_0$ es el mayor entero que es menor o igual a $\sqrt n$. O dicho de otra manera, desea $a_0^2$ menor que o igual a $n$, e $(a_0+1)^2$ a ser más grande que $n$.

Si realmente no tienes idea de lo entero a utilizar, a continuación, usted encontrará por adivinar un número entero $g$. A continuación se calcula $g^2$. Si $g^2$ es mayor que $n$, su conjetura $g$ era demasiado grande, y se trate de un menor de adivinar. Si $g^2$ es mucho menor que $n$, su conjetura $g$ era demasiado pequeño, y se intenta una mayor adivinar. Sigue haciendo esto hasta que encuentre una conjetura $g$ donde$g^2 \le n$$(g+1)^2 > n$, y, a continuación,$a_0 = g$.

Answer 4

$a_0$ es simplemente el mayor entero tal que $a^2 \le n$. Puede determinar la fracción continua de una raíz cuadrada por realizar el paso de $\frac1{\sqrt n - a_0}$ y entonces usando el conjugado para extraer la raíz cuadrada del denominador y repetir.

Les recomiendo la Web de Ron Knott: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html . Buena suerte.