Bien, estoy haciendo una investigación que involucra la representación de Schrodinger en la teoría cuántica de campos. El funcional de onda del estado base para el campo de Klein Gordon es una gaussiana generalizada en el espacio de posición (básicamente un entramado de osciladores armónicos). Me gustaría calcular las funciones de correlación de tiempo igual $\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0$ . Sé que la respuesta es $$D(\vec x-\vec y)=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\vec k\cdot (\vec x-\vec y)}}{2\omega_k},$$ tomando prestada la mayor parte de la notación de P&S. En el formalismo que estoy utilizando tengo algo así como $$\Psi[\phi]=N\times \exp\bigg[-\frac{1}{2}\int d^3x\int d^3y\; \phi(\vec x)G(\vec x-\vec y)\phi(\vec y)\bigg]\\=N\;exp\bigg[-\frac{1}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg].$$
Sé que el factor $\phi(x)\phi(y)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')$ puede expandirse en una transformada de Fourier. Estoy tratando de evaluar la función de correlación,
$$\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0=\int D\phi \phi (\vec x)\phi (\vec y)|\Psi[\phi]|^2\\ \to N\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')\exp\bigg[-\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg]$$
Puedo dividir las transformadas de Fourier en partes reales e imaginarias y encontrar que la integración funcional se desvanece a menos que (consulte el capítulo 9 de P&S para un cálculo similar) $\vec p=-\vec p'$ . El problema que tengo es que me falta sistemáticamente un factor de dos en el resultado final (después de las normalizaciones adecuadas y demás, por supuesto) que creo que viene del hecho de que estoy sumando las integrales
$$\bigg(\tilde\phi^R(\vec p)\bigg)^2+\bigg(\tilde\phi^I(\vec p)\bigg)^2.$$
Incluso si se normaliza la división en partes reales e imaginarias, esto se compensa con el argumento de la exponencial. Estaba intentando determinar si hay un factor de sobreconteo asociado a la integral doble, pero tampoco veo que sea así. ¿Alguien tiene algún problema similar con cálculos como este?
EDIT: Algunas observaciones sobre esta formulación de QFT: Esta es una forma alternativa de abordar la QFT en la que se toma el Hamiltoniano de Klein Gordon, $$H=\frac{1}{2}\int d^3x\;\pi^2-\bigg(\vec\nabla\phi\bigg)^2+m^2\phi^2$$ El momento canónico $\pi$ de los campos se toma como generador de traslaciones en el espacio de configuración (por lo que un operador de derivada funcional) $$\pi\to-i\frac{\delta}{\delta\phi}$$
Y resolver una ecuación funcional de Schrodinger. Este formalismo no es manifiestamente covariante, pero todas las cantidades observables (que yo sepa) están de acuerdo con la representación del espacio de Fock.
La normalización se encuentra utilizando la generalización funcional de las técnicas utilizadas en QM. La normalización no está bien definida, ya que anula el cálculo de las funciones de correlación.
Este método es especialmente adecuado para una perspectiva informativa de la QFT, ya que el funcional de onda está relacionado con la distribución de probabilidad de la configuración del campo de forma normal. Mi investigación está relacionada con la reescritura de aspectos de la QFT en términos de aspectos de la teoría de la información. La renormalización se verá (con suerte) como una mezcla de conceptos como la granulación gruesa y la suficiencia.
