¿Puede el lagrangiano tener un término potencial proporcional al cuadrático o superior de la velocidad?

Question

En general, el Lagrangiano clásico $L(q,\dot q)=\frac{m}{2} \dot q^2-U(q,\dot q)$ tiene un $\dot q$ -de la dependencia. Por ejemplo, el término potencial $U(q,\dot q)$ de la partícula cargada está dada como sigue: $U(q,\dot q)=e(\phi-\dot q_iA_i)$ .

Sin embargo, no conozco el lagrangiano que tiene términos cuadráticos de la velocidad y superiores como: $L(q,\dot q)=\frac{m}{2} \dot q^2 -b_{ijk}\dot q_i \dot q_j \dot q_k$ .

Mi pregunta es por qué no existen tales lagrangianos, o por qué los lagrangianos no deberían contener términos que sean proporcionales al tercer orden de la velocidad o a uno superior.

¿Hay una buena razón para ello o es simplemente porque no existen en la naturaleza?

Answer 1

Las ecuaciones EL para su potencial propuesto serían

$$m\ddot q -\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q}= \frac{\partial U}{\partial q}$$ que puede reexpresarse como $$\left(m- \frac{\partial^2 U}{\partial \dot q^2} \right)\ddot q = -\frac{\partial U}{\partial q} +\frac{\partial^2 U}{\partial q \partial \dot q} \dot q$$

Dependencia no lineal de $U$ en $\dot q$ por lo tanto, daría lugar a un término de masa dinámica efectiva, mientras que la dependencia cruzada de $q$ y $\dot q$ daría una fuerza dependiente de la velocidad, que podría describir alguna forma de fricción del fluido o la fuerza de Lorentz, como mencionas en la pregunta original.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la adición de esta dependencia de la velocidad podría hacer que la matriz hessiana $\frac{\partial ^2 L}{\partial \dot q^i \partial \dot q^j}$ singular. En este caso, la transición al marco hamiltoniano a través de la transfomación de Legendre debe abordarse con mucha más cautela; véase, por ejemplo, la esta pregunta .

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Consideremos el lagrangiano relativista

$$L = mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - U(\mathbf x)$$

Expandiendo a segundo orden en $v^2/c^2$ esto se convierte en

$$L = \frac{1}{2} mv^2 +\frac{3}{8} m v^4/c^2 - U(\mathbf x)$$ lo que da lugar a las ecuaciones EL $$-\frac{\partial U}{\partial \mathbf x} = \frac{d}{dt}\left[m\left(1+ \frac{3v^2}{2c^2} \right)\mathbf v\right]$$ Esto es mecánica newtoniana, excepto que $m$ ha sido sustituido por $m\left(1+\frac{3v^2}{2c^2}\right)$ , dando la corrección relativista de menor orden.

Answer 2

Por si sirve de algo, las potencias más altas de las velocidades (o los momentos) aparecen en muchos Lagrangianos, por ejemplo, como una serie de potencias en relativista correcciones , digamos, de cuadrado raíz términos .

Answer 3

De hecho, hay una gran cantidad de sistemas, cuyo Lagrange contiene mayor (incluso infinito) orden de velocidad en la mecánica no relativista, por ejemplo, si usted tiene una simple ecuación de movimiento $$ \ddot q+c_1 \dot q=0. $$ Entonces el Lagrange puede escribirse como $$ L= \dot q f(\dot q) \exp(-c_2 q) $$ donde $f(\dot q)$ satisface la ecuación $$ \frac{d f}{d\dot q}=\frac{1}{\dot q^2}\exp\left(-\frac{c_2}{c_1} \dot q \right) $$ donde $c_1$ y $c_2$ son dos constantes.