Una integral de una función positiva sobre un conjunto "pequeño" es "pequeña".

Question

Consideremos un espacio de medidas $(X,\mathfrak{A},\mu)$ , $f$ una función integrable y $f \geq 0$ . Demuestre que para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que para cada $A \in \mathfrak{A}$ si $\mu(A)<\delta$ entonces $\int_A f d\mu < \epsilon$ .

Me dan una pista que es considerar $f_n(x) = \min\{n, f(x)\}$ .

Hago esto y dado que $f_n \leq f_{n+1}$ Puedo utilizar el teorema de Beppo-Levi y concluir que $\displaystyle \int_A f d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu$ .

Si $f$ está acotado puedo concluir además que existe M tal que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu \leq \int M d\mu = M\mu(A)$ y tomar $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ .

Realmente no sé qué hacer si $f$ no está acotado.

Answer 1

Supongamos que el resultado fuera falso. Entonces existiría $\epsilon>0$ y una secuencia $(A_n)$ de conjuntos medibles tales que $\mu(A_n)<2^{-n}$ y $\int_{A_n}fd\mu \geq \epsilon$ . Por el lema de Borel-Cantelli $\mu(\limsup_n A_n)=0$ . Sea $A = \limsup_n A_n$ . Invertir el lema de Fatou implica ahora $$0=\int_A f d\mu \geq \limsup_n \int_{A_n}fd\mu \geq \epsilon.$$ Esto es una contradicción. (Nótese que el argumento funciona para todos los integrables $f$ sustituyendo $f$ con $|f|$ .)

Answer 2

Si $f$ está acotado o no, $f$ al ser integrable implica que $f_n\to f$ en $L^1$ . Por lo tanto, fijar algún positivo $\epsilon$ y elegir algunos $n$ tal que $\|f_n-f\|_1\leqslant\epsilon$ .

Ahora bien, para cada medida $A$ , $\left|\int_Afd\mu\right|\leqslant\left|\int_Af_nd\mu\right|+\|f_n-f\|_1\leqslant n\mu(A)+\epsilon$ por lo que, para cada medible $A$ tal que $\mu(A)\leqslant\epsilon/n$ se obtiene $\left|\int_Afd\mu\right|\leqslant2\epsilon$ , según se desee.

Se ve que este enfoque funciona para toda función integrable $f$ con valores reales, no sólo no negativos, simplemente sustituyendo $f_n=\min\{f,n\}$ par $f_n=\max\{-n,\min\{f,n\}\}$ .