Consideremos un espacio de medidas $(X,\mathfrak{A},\mu)$ , $f$ una función integrable y $f \geq 0$ . Demuestre que para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que para cada $A \in \mathfrak{A}$ si $\mu(A)<\delta$ entonces $\int_A f d\mu < \epsilon$ .
Me dan una pista que es considerar $f_n(x) = \min\{n, f(x)\}$ .
Hago esto y dado que $f_n \leq f_{n+1}$ Puedo utilizar el teorema de Beppo-Levi y concluir que $\displaystyle \int_A f d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu$ .
Si $f$ está acotado puedo concluir además que existe M tal que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu \leq \int M d\mu = M\mu(A)$ y tomar $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ .
Realmente no sé qué hacer si $f$ no está acotado.